Question

【題目】（本小題滿分10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交于點H，連接BD、FH．

（1）求證：△ABC≌△EBF；

（2）試判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若AB=1，求HGHB的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）相切，理由見試題解析；（3）．

【解析】

試題（1）由∠ABC=90°和FD⊥AC，得到∠ABF=∠EBF，由∠DEC=∠BEF，得到∠DCE=∠EFB，從而得到△ABC≌△EBF（ASA）；

（2）BD與⊙O相切．連接OB，只需證明∠DBE+∠OBE=90°，即可得到OB⊥BD，從而有BD與⊙O相切；

（3）連接EA，EH，由DF為線段AC的垂直平分線，得到AE=CE，由△ABC≌△EBF，得到AB=BE=1，進而得到CE=AE=，故，即可得出結論，

又因為BH為角平分線，易證△EHF為等腰直角三角形，故，得到，再由△GHF∽△FHB，得到．

試題解析：（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，∵FD⊥AC，∴∠CDE=90°，∴∠ABF=∠EBF，∵∠DEC=∠BEF，∴∠DCE=∠EFB，∵BC=BF，∴△ABC≌△EBF（ASA）；

（2）BD與⊙O相切．理由：連接OB，∵DF是AC的垂直平分線，∴AD=DC，∴BD=CD，∴∠DCE=∠DBE，∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠DCE=∠EFB，∴∠DBE=∠OBF，∵∠OBF+∠OBE=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，∴OB⊥BD，∴BD與⊙O相切；

（3）連接EA，EH，∵DF為線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，∵△ABC≌△EBF，∴AB=BE=1，∴CE=AE=，∴，∴，又∵BH為角平分線，∴∠EBH=∠EFH=45°，∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°，∴△EHF為等腰直角三角形，∴，∴，∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF，∴△GHF∽△FHB，∴，∴，∴．