Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其 中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，求PQ的長；
（2）求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí)，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ= = =2 （cm）

（2）解：根據(jù)題意得：BQ=BP，

即2t=8﹣t，

解得：t= ；

即出發(fā)時(shí)間為 秒時(shí)，△PQB是等腰三角形

（3）解：分三種情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示：

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示：

則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒．

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示：

過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，

則BE= = =4.8（cm）

∴CE= =3.6cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，

△BCQ為等腰三角形．

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由題意得出BQ=BP，即2t=8﹣t，解方程即可；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；②當(dāng)CQ=BC時(shí)（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；③當(dāng)BC=BQ時(shí)（圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等，以及對(duì)勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．