Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+x+與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求線段DE的長(zhǎng)度；

（2）如圖2，試在線段AE上找一點(diǎn)F，在線段DE上找一點(diǎn)P，且點(diǎn)M為直線PF上方拋物線上的一點(diǎn)，求當(dāng)△CPF的周長(zhǎng)最小時(shí)，△MPF面積的最大值是多少；

（3）在（2）問(wèn)的條件下，將得到的△CFP沿直線AE平移得到△C′F′P′，將△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，記在平移過(guò)稱(chēng)中，直線F′P′與x軸交于點(diǎn)K，則是否存在這樣的點(diǎn)K，使得△F′F″K為等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)2 ;(2) ;(3)見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)解析式求得C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)，即可求得DH的長(zhǎng)度，令y=0，求得A，B的坐標(biāo)，然后證得△ACO∽△EAH，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求得EH的長(zhǎng)，進(jìn)繼而求得DE的長(zhǎng)；

（2）找點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N（4，），找點(diǎn)C關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G（-2，-），連接GN，交AE于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)P，即G、F、P、N四點(diǎn)共線時(shí)，△CPF周長(zhǎng)=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線GN的解析式：y=x-；直線AE的解析式：y= -x-，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交FH于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)M（m，-m+m+），則Q（m，m-），根據(jù)S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP= -m+m+，根據(jù)解析式即可求得，△MPF面積的最大值；

（3）由（2）可知C（0，），F(xiàn)（0，），P（2，），求得CF=，CP=，進(jìn)而得出△CFP為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，翻折之后形成邊長(zhǎng)為的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三種情況討論求得即可．

本題解析：（1）對(duì)于拋物線y=﹣x2+x+，

令x=0，得y=，即C（0，），D（2，），

∴DH=，

令y=0，即﹣x2+x+=0，得x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵AE⊥AC，EH⊥AH，

∴△ACO∽△EAH，

∴=，即=，

解得：EH=，

則DE=2；

（2）找點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N（4，），找點(diǎn)C關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G（﹣2，﹣），

連接GN，交AE于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)P，即G、F、P、N四點(diǎn)共線時(shí)，△CPF周長(zhǎng)=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，

直線GN的解析式：y=x﹣；直線AE的解析式：y=﹣x﹣，

聯(lián)立得：F （0，﹣），P（2，），

過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線交FH于點(diǎn)Q，

設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2+m+），則Q（m， m﹣），（0＜m＜2）；

∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+，

∵對(duì)稱(chēng)軸為：直線m=＜2，開(kāi)口向下，

∴m=時(shí)，△MPF面積有最大值： ；

（3）由（2）可知C（0，），F(xiàn)（0，），P（2，），

∴CF=，CP==，

∵OC=，OA=1，

∴∠OCA=30°，

∵FC=FG，

∴∠OCA=∠FGA=30°，

∴∠CFP=60°，

∴△CFP為等邊三角形，邊長(zhǎng)為，

翻折之后形成邊長(zhǎng)為的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，

1）當(dāng)K F′=KF″時(shí)，如圖3，

點(diǎn)K在F′F″的垂直平分線上，所以K與B重合，坐標(biāo)為（3，0），

∴OK=3；

2）當(dāng)F′F″=F′K時(shí)，如圖4，

∴F′F″=F′K=4，

∵FP的解析式為：y=x﹣，

∴在平移過(guò)程中，F′K與x軸的夾角為30°，

∵∠OAF=30°，

∴F′K=F′A

∴AK=4

∴OK=4﹣1或者4+1；

3）當(dāng)F″F′=F″K時(shí)，如圖5，

∵在平移過(guò)程中，F″F′始終與x軸夾角為60°，

∵∠OAF=30°，

∴∠AF′F″=90°，

∵F″F′=F″K=4，

∴AF″=8，

∴AK=12，

∴OK=11，

綜上所述：OK=3，4﹣1，4+1或者11．