Question

【題目】閱讀下列材料：

已知：如圖1，直線AB∥CD，點(diǎn)E是AB、CD之間的一點(diǎn)，連接BE、DE得到∠BED．

求證：∠BED =∠B+∠D.

圖1

小冰是這樣做的：

證明：過點(diǎn)E作EF∥AB，則有∠BEF=∠B．

∵AB∥CD，∴EF∥CD．

∴∠FED=∠D．

∴∠BEF +∠FED =∠B+∠D．

即∠BED=∠B+∠D．

請利用材料中的結(jié)論，完成下面的問題：

已知：直線 AB∥CD，直線MN分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F．

（1）如圖2，∠BEF和∠EFD的平分線交于點(diǎn)G．猜想∠G的度數(shù)，并證明你的猜想；

（2）如圖3，EG1和EG2為∠BEF內(nèi)滿足∠1=∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點(diǎn)G1和G2．求證：∠FG1 E+∠G2=180°．

Answer 1

【答案】（1）猜想：∠EGF=90°．證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）如圖2所示，猜想：∠EGF=90°；由結(jié)論（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根據(jù)EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到結(jié)論；
（2）如圖3，過點(diǎn)G1作G1H∥AB由結(jié)論（1）可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）猜想：∠EGF=90°．

證明：∵ EG，FG分別平分∠BEF和∠EFD，

∴∠BEF =2∠BEG，∠EFD=2∠GFD．

∵BE//CF，

∴∠BEF +∠EFD=180°．

∴2∠BEG+2∠GFD=180°．

∴∠BEG+∠GFD=90°．

∵由小冰的結(jié)論可得∠EGF =∠BEG+∠GFD，

∴∠EGF=90°．

（2）證明：過點(diǎn)G1作G1H//AB，

∵AB//CD，

∴G1H//CD．

∴∠3=∠G2FD．

∵由小冰的結(jié)論可得∠G2 =∠1+∠3，

∵FG2平分∠EFD，

∴∠4=∠G2FD．

∵∠1=∠2，

∴∠G2=∠2+∠4．

∵由小冰的結(jié)論可得∠EG1F =∠BEG1+∠G1FD，

∴∠EG1F +∠G2 =∠BEG1+∠G1FD+∠2+∠4

=∠BEF+∠EFD

=180°．