【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長是6,點D、F分別是BC、AC上的動點,且BDCF,以AD為邊作等邊三角形ADE,連接BFEF

1)求證:四邊形BDEF是平行四邊形;

2)連接DF,當BD的長為何值時,CDF為直角三角形?

3)設BDx,請用含x的式子表示等邊三角形ADE的面積.

【答案】(1)見解析;(2)BD=2或4;(3)SADEx﹣3)2+(0≤x≤6)

【解析】

(1):要證明四邊形BDEF是平行四邊形,一般采用對邊平行且相等來證明,因為已經(jīng)有了DB=CF,只要有ABD全等ACE,就能得到∠ACE=ABD=60°,CE=CF=EF=BD,再利用∠CFE60°=∠ACB,就能平行,故第一問的證;

(2):反推法,當CDF為直角三角形,又因為∠C=60°,當∠CDF=90°時,可以知道

2CD=CF,因為CF=BDBD+CD=6,∴BD=4,當∠CFD=90°時,可以知道CD=2CF,因為CF=BD,BD+CD=6,∴BD=2,故當BD=24時,CFD為直角三角形;

(3):求等邊三角形ADE的面積,只要知道邊長就可求出,但是AD是變化的,所以我們采用組合面積求解,利用四邊形ADCE減去CDE即可,又因為ABDACE,所以四邊形ADCE的面積等于ABD的面積,所以只需要求出ABC的面積與CDE即可,從而即可求面積.

解:(1

∵△ABC是等邊三角形,

ABBC,∠BAC=∠ABD=∠BCF60°,

BDCF

∴△ABD≌△BCFSAS),

BDCF,

如圖1,連接CE,∵△ADE是等邊三角形,

ADAE,∠DAE60°

∴∠BAD=∠CAE,

ABAC

∴△ABD≌△ACESAS),

∴∠ACE=∠ABD60°,BDCE

CFCE,

∴△CEF是等邊三角形,

EFCFBD,∠CFE60°=∠ACB,

EFBC,

BDEF,

∴四邊形BDEF是平行四邊形;

2)∵△CDF為直角三角形,

∴∠CFD90°或∠CDF90°

當∠CFD90°時,∵∠ACB60°

∴∠CDF30°,

CD2CF,

由(1)知,CFBD,

CD2BD

即:BC3BD6,

BD2

x2,

當∠CDF90°時,∵∠ACB60°,

∴∠CFD30°,

CF2CD,

CFBD,

BD2CD,

BC3CD6

CD2,

xBD4

即:BD24時,△CDF為直角三角形;

3)如圖,

連接CE,由(1)△ABD≌△ACE,

SABDSACE,BDCE

BDCF,

∴△CEF是等邊三角形,

EMCEx

SCDECD×EM6x×xx6x

BHCHBC3,

AH3,

SABCBCAH9

SADES四邊形ADCESCDE

SACD+SACESCDE

SACD+SABDSCDE

SABCSCDE

9x6x

x32+0≤x≤6

練習冊系列答案
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10歲之前,同齡的女生的平均身高一般會略高于男生的平均身高;

②10~12歲之間,女生達到生長速度峰值段,身高可能超過同齡男生;

7~15歲期間,男生的平均身高始終高于女生的平均身高;

④13~15歲男生身高出現(xiàn)生長速度峰值段,男女生身高差距可能逐漸加大.

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