Question

【題目】如圖1，是的直徑，是弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于．

（1）求證：是的切線；

（2）如圖2，作于，交于，若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8

【解析】

（1）連接BC、OP，由AB是⊙O的直徑、PE⊥AE知PE∥BC，根據(jù)點(diǎn)P是的中點(diǎn)知OP⊥BC，即可得OP⊥PE；
（2）由（1）知，四邊形PECQ是矩形，從而可設(shè)PE=CQ=BQ=x，根據(jù)勾股定理求得BN的長(zhǎng)，先證△BHN∽△BQO得，表示出BO、OQ的長(zhǎng)，再證△PQN∽△BHN得，即，求出x即可．

解：（1）如圖1，連接BC、OP，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AE，
又∵PE⊥AE，
∴PE∥BC，
∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，
∴OP⊥BC，
∴OP⊥PE，
∴PE是⊙O的切線；

（2）如圖2，連接OP，

由（1）知，四邊形PECQ是矩形，
∴設(shè)PE=CQ=BQ=x，
∵NH=3，BH=4，PH⊥AB，
∴BN=5，
∵∠B=∠B，∠BHN=∠BQO=90°，
∴△BHN∽△BQO，

∴，即，

解得：BO=，OQ=，
∴PQ=PO-OQ=BO-OQ=，
∵∠PNQ=∠BNH，∠PQN=∠BHN=90°，
∴△PQN∽△BHN，

∴，

即，

解得：，

∴PE=8.