Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC＝BD，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：AB＝AC；

（2）求證：DE為⊙O的切線；

（3）若⊙O的半徑為5，sinB＝，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理得到AD⊥BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明；

（2）連接OD，根據(jù)三角形中位線定理得到OD∥AC，得到DE⊥OD，證明結(jié)論；

（3）解直角三角形求得AD，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得BD、CD，據(jù)正弦的定義計(jì)算即可求得．

（1）證明：如圖，連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，又DC＝BD，

∴AB＝AC；

（2）證明：如圖，連接OD，

∵AO＝BO，CD＝DB，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，又DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE為⊙O的切線；

（3）解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵⊙O的半徑為5，

∴AB＝AC＝10，

∵sinB＝ ＝ ，

∴AD＝8，

∴CD＝BD＝ ＝6，

∴sinB＝sinC＝＝，

∴DE＝．