【題目】已知結(jié)論:在直角三角形中,30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半,請(qǐng)利用這個(gè)結(jié)論進(jìn)行下列探究活動(dòng).如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=,D為AB中點(diǎn),P為AC上一點(diǎn),連接PD,把△APD沿PD翻折得到△EPD,連接CE.
(1)AB=_____,AC=______.
(2)若P為AC上一動(dòng)點(diǎn),且P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā),沿AC以每秒一單位長度的速度向C運(yùn)動(dòng),設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t=_____秒時(shí),以A、P、E、D、為頂點(diǎn)可以構(gòu)成平行四邊形.
②在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在以B、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)4,6;(2)①;②存在,t=2或t=6.
【解析】
(1)根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得AB的長,利用勾股定理即可求出AC的長;(2)①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD//PE,AD=PE,根據(jù)折疊性質(zhì)可得PE=AP,即可得AP=AD,由D為AB中點(diǎn)可得AD的長,即可得AP的長,進(jìn)而可求出t的值;②分兩種情況討論:當(dāng)BD為邊時(shí),設(shè)DE與PC相交于O,根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠B=60°,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CE=BD,CE//BD,BC//DE,可得∠ECP=∠A=30°,∠CED=∠ADE=∠B=60°,根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠ADP=∠EDP=30°,AP=PE,即可證明∠ADP=∠A,可得AP=PD=PE,可得∠PED=∠PDE=30°,即可得∠PEC=90°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得PC=2PE,利用勾股定理列方程可求出PE的長,即可得AP的長;當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí),可證明平行四邊形BCDE是菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DCE=30°,可證明DE=AD,∠ADC=∠CDE=120°,利用SAS可證明△ACD≌△ECD,可得AC=CE,根據(jù)翻折的性質(zhì)可證明點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,根據(jù)AC的長即可求出t值,綜上即可得答案.
(1)∵∠C=90°,∠A=30°,BC=,
∴AB=2BC=4,
∴AC==6.
故答案為:4,6
(2)①如圖,∵D為AB中點(diǎn),
∴AD=BD=AB,
∵BC=AB,
∴AD=BD=BC=,
∵ADEP是平行四邊形,
∴AD//PE,AD=PE,
∵△APD沿PD翻折得到△EPD,
∴AP=PE,
∴AP=AD=,
∵P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā),沿AC以每秒一單位長度的速度向C運(yùn)動(dòng),
∴t=.
故答案為:
②存在,理由如下:
i如圖,當(dāng)BD為邊時(shí),設(shè)DE與PC相交于O,
∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴∠B=60°,
∵四邊形DBCE是平行四邊形,
∴CE=BD,CE//BD,DE//BC,
∴∠ECP=∠A=30°,∠CED=∠ADE=∠B=60°,
∵△APD沿PD翻折得到△EPD,
∴∠ADP=∠EDP=30°,AP=PE,
∴∠PAD=∠PDA=30°,
∴AP=PD=PE,
∴∠PED=∠PDE=30°,
∴∠PEC=∠PED+∠DEC=90°,
∵∠ECP=30°,
∴PC=2PE,
∴PC2=PE2+EC2,即4PE2=PE2+()2
解得:PE=2或PE=-2(舍去),
∵P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā),沿AC以每秒一單位長度的速度向C運(yùn)動(dòng),
∴t=2.
ii當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí),
∵BC=BD=AD,∠B=60°,
∴△BCD都是等邊三角形,
∴∠ACD=30°,
∵四邊形DBCE是平行四邊形,
∴平行四邊形BCDE為菱形,
∴DE=AD,∠ADC=∠CDE=120°,
又∵CD=CD,
∴△ACD≌△ECD,
∴AC=CE,
∴△ECD是△ACD沿CD翻折得到,
∵△APD沿PD翻折得到△EPD,
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,
∴AP=AC=6.
∵P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā),沿AC以每秒一單位長度的速度向C運(yùn)動(dòng),
∴t=6.
故當(dāng)t=2或t=6時(shí),以B、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將ABCD沿對(duì)角線AC進(jìn)行折疊,折疊后點(diǎn)D落在點(diǎn)F處,AF交BC于點(diǎn)E,有下列結(jié)論:①△ABF≌△CFB;②AE=CE;③BF∥AC;④BE=CE,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖兩張長相等,寬分別是1和3的矩形紙片上疊合在一起,重疊部分為四邊形ABCD,且AB+BC=6,則四面行ABCD的面積為( )
A. 3B. C. 9D.
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【題目】某中學(xué)為了了解八年級(jí)學(xué)生的業(yè)余愛好,抽查了部分學(xué)生,并制如下表格和條形統(tǒng)計(jì)圖:
頻數(shù) | 頻率 | |
體育 | 25 | 0.25 |
美術(shù) | 30 | a |
音樂 | b | 0.35 |
其他 | 10 | 0.1 |
請(qǐng)根據(jù)圖完成下面題目:
(1)抽查人數(shù)為_____人,a=_____.
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校八年級(jí)有800人,請(qǐng)你估算該校八年級(jí)業(yè)余愛好音樂的學(xué)生約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下列各數(shù)中,負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為m個(gè),正數(shù)的個(gè)數(shù)為n個(gè),絕對(duì)值最大的數(shù)為k.
(1)m= __________.n=__________.K=__________.
(2)求的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,從熱氣球C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30°、45°,如果此時(shí)熱氣球C處的
高度CD為100m,點(diǎn)A、D、B在同一直線上,CD⊥AB,則A、B兩點(diǎn)的距離是( )
A. 200m B. 200m C. m D.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BE⊥CE,垂足是E,BE交AC于點(diǎn)D,F(xiàn)是BE上一點(diǎn),AF⊥AE,且C是線段AF的垂直平分線上的點(diǎn),AF=2,則DF=______.
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【題目】不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的題設(shè)是( )
A. AB=CD,AD∥BCB. ABCDC. AB=CD,AD=BCD. AB∥CD,AD∥BC
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【題目】(本題滿分10分)(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,連接BE,
填空:①∠AEB的度數(shù)為 ;
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)拓展探究
如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=900, 點(diǎn)A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)解決問題如圖3,在正方形ABCD中,CD=.若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=900,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離.
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