Question

（2013•普洱）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-

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2

x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，0），C（4，0）兩點(diǎn)，和y軸相交于點(diǎn)B，連接AB、BC．
（1）求拋物線的解析式（關(guān)系式）．
（2）在第一象限外，是否存在點(diǎn)E，使得以BC為直角邊的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明如何找到符合條件的點(diǎn)E，然后直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷是否有滿足條件的點(diǎn)E在拋物線上；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在直線BC上方的拋物線上，找一點(diǎn)D，使S_△BCD：S_△ABC=1：4，并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）分當(dāng)BC為斜邊時(shí)和當(dāng)BC為直角邊時(shí)兩種情況確定點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)S_△ABC利用S_△BCD：S_△ABC=1：4，求得S_△BCD=

1

4

S_△ABC=

1

4

×12=3．設(shè)D的坐標(biāo)為（x，-

1

2

x2+x+4），作DE⊥x軸于點(diǎn)E，利用S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

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2

）或（3，

5

2

）．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

2

x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，0），C（4，0）兩點(diǎn)，
∴

- 1 2 ×(-2)2+b×(-2)+c=0 - 1 2 ×42+b×4+c=0

，
解得

b=1 c=4

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4．

（2）在第一象限外存在點(diǎn)E，使得以BC為直角邊的△BCE和Rt△AOB相似．
①當(dāng)BC為斜邊時(shí)，
△BOC即為所找的△BCE是直角三角形，但是它與Rt△AOB不相似；
②當(dāng)BC為直角邊時(shí)，
若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-8，-4），此時(shí)點(diǎn)E不在拋物線上；
若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4，-8），此時(shí)點(diǎn)E在拋物線上．

（3）∵S_△ABC=

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×6×4=12，S_△BCD：S_△ABC=1：4，
∴S_△BCD=

1

4

S_△ABC=

1

4

×12=3．
如圖所示，設(shè)在直線BC上方的拋物線上，找一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-

1

2

x2+x+4），作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則
S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC
=

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×(-

1

2

x2+x+4+4)×x+

1

2

×(4-x)×(-

1

2

x2+x+4)-

1

2

×4×4=3．
即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，xx₂=3．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

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2

）或（3，

5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是題目中涉及到的將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)更是解決二次函數(shù)知識(shí)的常用方法．