【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別交于,兩點(diǎn),已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱,且點(diǎn)的坐標(biāo)為.其中.
(1)四邊形是 .(填寫四邊形的形狀)
(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),且四邊形是矩形,求,的值.
(3)試探究:隨著與的變化,四邊形能不能成為菱形?若能,請直接寫出的值;若不能,請說明理由.
【答案】(1) 平行四邊形;(2);(3) 四邊形 不可能成為菱形,理由見解析.
【解析】(1)根據(jù)正、反比例函數(shù)的對稱性即可得出點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱,再結(jié)合點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱,即可得出對角線BD、AC互相平分,由此即可證出四邊形ABCD的是平行四邊形;
(2)由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出n值,進(jìn)而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)以及OA的長度,再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得出OB=OA,由點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求出m值;
(3)由點(diǎn)A在第一象限內(nèi),點(diǎn)B在x軸正半軸上,可得出∠AOB<90°,而菱形的對角線互相垂直平分,由此即可得知四邊形ABCD不可能成為菱形.
(1)∵正比例函數(shù)y=kx(k>0)與反比例函數(shù)y=的圖象分別交于A、C兩點(diǎn),
∴點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱,
∵點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對稱,
∴對角線BD、AC互相平分,
∴四邊形ABCD的是平行四邊形.
故答案為:平行四邊形.
(2)∵點(diǎn)A(n,3)在反比例函數(shù)y=的圖象上,
∴3n=3,解得:n=1,
∴點(diǎn)A(1,3),
∴OA=.
∵四邊形ABCD為矩形,
∴OA=AC,OB=BD,AC=BD,
∴OB=OA=,
∴m=.
(3)四邊形ABCD不可能成為菱形,理由如下:
∵點(diǎn)A在第一象限內(nèi),點(diǎn)B在x軸正半軸上,
∴∠AOB<90°,
∴AC與BD不可能互相垂直,
∴四邊形ABCD不可能成為菱形.
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【題目】列方程解應(yīng)用題.
程大位,明代商人,珠算發(fā)明家,被稱為珠算之父、卷尺之父.少年時(shí),讀書極為廣博,對數(shù)學(xué)頗感興趣,60歲時(shí)完成其杰作《直指算法統(tǒng)宗》(簡稱《算法統(tǒng)宗》).
在《算法統(tǒng)宗》里記載了一道趣題:一百饅頭一百僧,大僧三個(gè)更無爭,小僧三人分一個(gè),大小和尚各幾。恳馑际牵河100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭,如果大和尚1人分3個(gè),小和尚3人分1個(gè),正好分完.試問大、小和尚各多少人?
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【題目】如圖是一張長方形紙片ABCD,已知AB=8,AD=7,E為AB上一點(diǎn),AE=5,現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片(△AEP),使點(diǎn)P落在長方形ABCD的某一條邊上,則等腰三角形AEP的底邊長是 .
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【題目】設(shè)拋物線的解析式為y=ax2 , 過點(diǎn)B1(1,0)作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)A1(1,2);過點(diǎn)B2( ,0)作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)A2;…;過點(diǎn)Bn(( )n﹣1 , 0)(n為正整數(shù))作x軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)An , 連接AnBn+1 , 得Rt△AnBnBn+1 .
(1)求a的值;
(2)直接寫出線段AnBn , BnBn+1的長(用含n的式子表示);
(3)在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列問題:
①當(dāng)n為何值時(shí),Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形?
②設(shè)1≤k<m≤n(k,m均為正整數(shù)),問:是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),將△ABE沿BE折疊后得到△GBE,延長BG交CD于F點(diǎn),若CF=2,F(xiàn)D=4,則BC的長為( )
A.6
B.2
C.4
D.4
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【題目】李剛家去年養(yǎng)殖的“豐收一號”多寶魚喜獲豐收,上市20天全部售完,李剛對銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成圖象,日銷售量y(單位:千克)與上市時(shí)間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
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(2)求李剛家多寶魚的日銷售量y與上市時(shí)間x的函數(shù)解析式.
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【題目】已知凸四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)如圖1,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的鄰補(bǔ)角,判斷DE與BF位置關(guān)系并證明.
(2)如圖2,若BF、DE分別平分∠ABC、∠ADC的鄰補(bǔ)角,判斷DE與BF位置關(guān)系并證明.
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【題目】如圖,中,,,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),終點(diǎn)為B點(diǎn);點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),終點(diǎn)為A點(diǎn)點(diǎn)P和Q分別以1和3的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng),在某時(shí)刻,分別過P和Q作于E,于問:點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí),與QFC全等?請說明理由.
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【題目】問題情境:如圖1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°.求∠APC度數(shù).
小明的解題思路是:如圖2,過P作PE∥AB,通過平行線性質(zhì),可得∠APC=50°+60°=110°.
問題遷移:
(1)如圖3,AD∥BC,點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí),∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.試判斷∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(2)在(1)的條件下,如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合),請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系.
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