【題目】設(shè)拋物線與x軸交于兩個不同的點A(-1,0)、B(m,0),與y軸交于點C.且∠ACB=90°.
(1)求m的值和拋物線的解析式;
(2)已知點D(1,n )在拋物線上,過點A的直線交拋物線于另一點E.若點P在x軸上,以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似,求點P的坐標(biāo).
【答案】(1)m=4,y=x2-x-2;(2) (,0)或 (-,0)
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的解析式可知OC=2,由于∠ACB=90°,可根據(jù)△AOC∽△COB求出OB的長,即可得出B點的坐標(biāo),也就得出了m的值.然后根據(jù)A,B,C三點的坐標(biāo),用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式;
(2)先求出點D的坐標(biāo),然后分情況進行討論,如果過E作x軸的垂線,不難得出∠DBx=135°,而∠ABE是個鈍角但小于135°,因此P點只能在B點左側(cè).可分兩種情況進行討論:①∠DPB=∠ABE,即△DBP∽△EAB,可得出BP:AP=BD:AE,可據(jù)此來求出P點的坐標(biāo).②∠PDB=∠ABE,即△DBP∽△BAE,方法同①,只不過對應(yīng)的成比例線段不一樣.綜上所述可求出符合條件的P點的值.
解:(1)令x=0,得y=-2,
∴C(0,-2),
∵∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴△AOC∽△COB,
∴OAOB=OC2,
∴OB== =4,
∴m=4,
∴B(4,0),
將A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx-2得,
解得,
∴拋物線的解析式為y=x2-x-2;
(2)當(dāng)x=1時,y=-- 2=-3,
∴D(1,-3 ).
解得,或,
∴E(6,7),
過E作EH⊥x軸于H,則H(6,0),
∴AH=EH=7,
∴∠EAH=45°,
過D作DF⊥x軸于F,則F(1,0),
∴BF=DF=3,
∴∠DBF=45°,
∴∠EAH=∠DBF=45°,
∴∠DBH=135°,90°<∠EBA<135°,
則點P只能在點B的左側(cè),有以下兩種情況:
①若△DBP1∽△EAB,則,
∵AB=5,BD=,AE=,
∴BP1===,
∴OP1=4-=,
∴P1(,0);
②若△DBP2∽△BAE,則,
∵AB=5,BD=,AE=,
∴BP2==,
∴OP2=-4=,
∴P2(-,0).
綜合①、②,得點P的坐標(biāo)為: (,0)或 (-,0).
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【題目】已知函數(shù)解析式為y=(m-2)
(1)若函數(shù)為正比例函數(shù),試說明函數(shù)y隨x增大而減小
(2)若函數(shù)為二次函數(shù),寫出函數(shù)解析式,并寫出開口方向
(3)若函數(shù)為反比例函數(shù),寫出函數(shù)解析式,并說明函數(shù)在第幾象限
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作,書中有一個問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等.交易其一,金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何?”.意思是:甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同),稱重兩袋相等.兩袋互相交換1枚后,甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計).問黃金、白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據(jù)題意得( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,在ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC的平分線交AD于點E,交CD的延長線于點F.
(1)求DF的長;
(2)點H為CD的中點,連接AH交BF于點G,點G是BF的中點嗎?請說明理由.
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【題目】已知拋物線y=x2+bx+c,經(jīng)過點B(﹣4,0)和點A(1,0),與y軸交于點C.
(1)確定拋物線的表達式,并求出C點坐標(biāo);
(2)如圖1,拋物線上存在一點E,使△ACE是以AC為直角邊的直角三角形,求出所有滿足條件的點E坐標(biāo);
(3)如圖2,M,N是拋物線上的兩動點(點M在點的N左側(cè)),分別過點M,N作PM∥x軸,PN∥y軸,PM,PN交于點P.點M,N運動時,始終保持MN=不變,當(dāng)△MNP的兩條直角邊長成二倍關(guān)系時,請直接寫出直線MN的表達式.
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【題目】如圖,點A(,4),B(3,m)是直線AB與反比例函數(shù)(x>0)圖象的兩個交點.AC⊥x軸,垂足為點C,已知D(0,1),連接AD,BD,BC.
(1)求直線AB的表達式;
(2)△ABC和△ABD的面積分別為S1,S2,求S2-S1.
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【題目】某工廠準(zhǔn)備用圖甲所示的A型正方形板材和B型長方形板材,制作成圖乙所示的豎式和橫式兩種無蓋箱子.
若該工廠準(zhǔn)備用不超過10000元的資金去購買A,B兩種型號板材,并全部制作豎式箱子,已知A型板材每張30元,B型板材每張90元,求最多可以制作豎式箱子多少只?
若該工廠倉庫里現(xiàn)有A型板材65張、B型板材110張,用這批板材制作兩種類型的箱子,問制作豎式和橫式兩種箱子各多少只,恰好將庫存的板材用完?
若該工廠新購得65張規(guī)格為的C型正方形板材,將其全部切割成A型或B型板材不計損耗,用切割成的板材制作兩種類型的箱子,要求豎式箱子不少于20只,且材料恰好用完,則能制作兩種箱子共______只
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【題目】如圖,反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于,兩點.
求:(1)反比例函數(shù)關(guān)系式;
(2)n的值;
(3)一次函數(shù)關(guān)系式;
(4)根據(jù)圖像回答,當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時,x的取值范圍.
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【題目】某商場同時購進甲、乙兩種商品共100件,其進價和售價如下表:
商品名稱 | 甲 | 乙 |
進價(元/件) | 40 | 90 |
售價(元/件) | 60 | 120 |
設(shè)其中甲種商品購進x件,商場售完這100件商品的總利潤為y元.
(Ⅰ)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)該商場計劃最多投入8000元用于購買這兩種商品,
①至少要購進多少件甲商品?
②若銷售完這些商品,則商場可獲得的最大利潤是多少元?
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