【題目】綜合與探究:
如圖1,的直角頂點在坐標原點,點在軸正半軸上,點在軸正半軸上,,,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,過點作軸于點,拋物線經(jīng)過點,與軸交于點,直線與軸交于點.
(1)求點的坐標及拋物線的表達式;
(2)如圖2,已知點是線段上的一個動點,過點作的垂線交拋物線于點(點在第一象限),設(shè)點的橫坐標為.
①點的縱坐標用含的代數(shù)式表示為________;
②如圖3,當直線經(jīng)過點時,求點的坐標,判斷四邊形的形狀并證明結(jié)論;
③在②的前提下,連接,點是坐標平面內(nèi)的點,若以,,為頂點的三角形與全等,請直接寫出點的坐標.
【答案】(1)點的坐標為,;(2)①;②點F的坐標為,四邊形為正方形,證明見解析;③點的坐標為或或.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出點C的坐標,結(jié)合點E的坐標,根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的表達式;
(2)①設(shè)直線AC的表達式為,由點A、C的坐標求出直線AC的表達式,進而得解;
②過點作軸于點,過點作軸,垂足為點,的延長線與的延長線交于點,根據(jù)等腰三角形三線合一得出,結(jié)合①由平行線分線段成比例得出點G的坐標,根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的表達式,結(jié)合拋物線的表達式求出點F;利用勾股定理求出,結(jié)合可得出結(jié)論;
③根據(jù)直線AC的表達式求出點H的坐標,設(shè)點N坐標為,根據(jù)勾股定理分別求出,,,,然后分兩種情況考慮:若△FHC≌△FHN,則FN=FC,NH=CH,若△FHC≌△HFN,則FN=CH,NH=FC,分別列式求解即可.
解:(1),,
點的坐標為,點的坐標為,
線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,
,,
,
在中,,
,
軸于點,
,
.
,
,
,,
,
點的坐標為,
∵拋物線的圖象經(jīng)過點,與軸交于點,
,
解得,,
∴拋物線的表達式為;
(2)①設(shè)直線AC的表達式為,
∵直線AC經(jīng)過點,,
∴,
解得,,即,
∴點的縱坐標用含的代數(shù)式表示為:,
故答案為:.
②過點作軸于點,
,,
,,
,
,
,
,
,
,,
點為,
設(shè)直線的表達式為,將和代入表達式得,,
,即表達式為,
點為直線和拋物線的交點,
得,
,(舍去),
點的坐標為,
過點作軸,垂足為點,的延長線與的延長線交于點,
,,,,
在中和中,根據(jù)勾股定理,得,
同理可得,
,
四邊形為菱形,
,
菱形為正方形;
③∵直線AC:與x軸交于點H,
∴,
解得,x=12,
∴,
∴,,
設(shè)點N坐標為,
∴,,
第一種情況:若△FHC≌△FHN,則FN=FC,NH=CH,
∴,
解得,,(即點C),
∴;
第二種情況:若△FHC≌△HFN,則FN=CH,NH=FC,
∴,
解得,,,
∴或,
綜上所述,以F,H,N為頂點的三角形與△FHC全等時,點N坐標為或或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橫臥于清波之上的黃石大橋與已經(jīng)貫通的五峰山隧道將成為恩施城區(qū)跨越東西方向的最大直線通道,它把六角亭老城區(qū)與知名景點女兒城連為一體,緩解了恩施城區(qū)交通擁堵的現(xiàn)狀.如圖,某數(shù)學興趣小組利用無人機在五峰山隧道正上空點P處測得黃石大橋西端點A的俯角為30°,東端點B(隧道西進口)的俯角為45°,隧道東出口C的俯角為22°,已知黃石大橋AB全長175米,隧道BC的長約多少米(計算結(jié)果精確到1米)?(參考數(shù)據(jù):sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,1.4,1.7)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知矩形中,是邊上的一個動點,點,,分別是,,的中點.
(1)求證:;
(2)當是的中點時,四邊形是什么樣的特殊四邊形?請證明你的結(jié)論.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】伊利集團是中國規(guī)模最大、產(chǎn)品線最全的乳制品企業(yè).綜合實踐小組的同學從網(wǎng)上搜集到如下一些伊利集團近幾年的營業(yè)狀況的資料,其中圖1是2013﹣2018年伊利集團營業(yè)收入及凈利潤情況統(tǒng)計圖,圖2是2018年伊利集團各品類業(yè)務(wù)營收比例情況統(tǒng)計圖(數(shù)據(jù)來源:公司財報、中商產(chǎn)業(yè)研究院).
(1)解讀信息:
綜合實踐小組的同學結(jié)合統(tǒng)計圖提出了如下問題,請你解答:
①2018年,伊利集團營收及凈利再次刷新行業(yè)紀錄,穩(wěn)居亞洲乳業(yè)第一.這一年,伊利集團實現(xiàn)營業(yè)收人 億元,凈利潤 億元;
②求2018年伊利集團“奶粉及奶制品“業(yè)務(wù)的營業(yè)收入(結(jié)果保留整數(shù));
③在2013﹣2018這6年中;伊利集團凈利潤比上一年增長額最多的是 年;估計2019年伊利集團的凈利潤將比上一年增長 億元,理由是 ;
(2)拓展活動:
如圖,同學們收集了伊利集團旗下“優(yōu)酸乳、谷粒多、QQ星,安幕!彼姆N產(chǎn)品的商標圖片(四張圖片除商標圖案外完全相同,分別記為A,B,C,D)(見圖3).同學們用這四張卡片設(shè)計了一個游戲,規(guī)則是:將四張圖片背面朝上放在桌上,攪勻后,由甲從中隨機抽取一張,記下商標名稱后放回;再次攪勻后,由乙從中隨機抽取一張.若兩人抽到的商標相同則甲獲勝;否則,乙獲勝,這個規(guī)則對甲乙雙方公平嗎?說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點O是等邊△ABC內(nèi)一點,∠AOB=110°,∠BOC=a.將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD.
(1)試說明△COD是等邊三角形;
(2)當a=150°時,OB=3,OC=4,試求OA的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在課外實踐中,小明為了測量江中信號塔離河邊的距離,采取了如下措施:如圖在江邊處,測得信號塔的俯角為,若米,,米,平行于,的坡度為,坡長米,則的長為( )(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):,,)
A.78.6米B.78.7米C.78.8米D.78.9米
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y = ax2 ax + c圖象的頂點為C,一次函數(shù)y = x + 3的圖象與這個二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(其中點A在點B的左側(cè)),與它的對稱軸交于點D.
(1)求點D的坐標;
(2) ①若點C與點D關(guān)于x軸對稱,且△BCD的面積等于4,求此二次函數(shù)的關(guān)系式;
②若CD=DB,且△BCD的面積等于4,求a的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點O是線段AH上一點,AH=3,以點O為圓心,OA的長為半徑作⊙O,過點H作AH的垂線交⊙O于C,N兩點,點B在線段CN的延長線上,連接AB交⊙O于點M,以AB,BC為邊作ABCD.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若OHAH,求四邊形AHCD與⊙O重疊部分的面積;
(3)若NHAH,BN,連接MN,求OH和MN的長.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com