【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點,點C的坐標是(8,4),連接AC,BC.
(1)求過O,A,C三點的拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;
(2)動點P從點O出發(fā),沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動;同時,動點Q從點B出發(fā),沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當t為何值時,PA=QA?
(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使以A,B,M為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點,
∴A(5,0),B(0,10),
∵拋物線過原點,
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,
∵拋物線過點B(0,10),C(8,4),
∴ ,
∴ ,
∴拋物線解析式為y= x2﹣ x,
∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),
∴AB2=52+102=125,BC2=82+(8﹣5)2=100,AC2=42+(8﹣5)2=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形
(2)
解:如圖1,
當P,Q運動t秒,即OP=2t,CQ=10﹣t時,
由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,
在Rt△AOP和Rt△ACQ中,
,
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,
∴OP=CQ,
∴2t=10﹣t,
∴t= ,
∴當運動時間為 時,PA=QA
(3)
解:存在,
∵y= x2﹣ x,
∴拋物線的對稱軸為x= ,
∵A(5,0),B(0,10),
∴AB=5
設(shè)點M( ,m),
①若BM=BA時,
∴( )2+(m﹣10)2=125,
∴m1= ,m2= ,
∴M1( , ),M2( , ),
②若AM=AB時,
∴( )2+m2=125,
∴m3= ,m4=﹣ ,
∴M3( , ),M4( ,﹣ ),
③若MA=MB時,
∴( ﹣5)2+m2=( )2+(10﹣m)2,
∴m=5,
∴M( ,5),此時點M恰好是線段AB的中點,構(gòu)不成三角形,舍去,
∴點M的坐標為:M1( , ),M2( , ),M3( , ),M4( ,﹣ )
【解析】(1)先確定出點A,B坐標,再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形;(2)根據(jù)運動表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可;(3)分三種情況用平面坐標系內(nèi),兩點間的距離公式計算即可,此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,三角形的全等的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是分情況討論,也是本題的難點.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E是對角線AC上一點,且CE=CD,過點E作EF⊥AC交AD于點F,連接BE.
(1)求證:DF=AE;
(2)當AB=2時,求BE2的值.
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【題目】由甲、乙兩個工程隊承包某校園綠化工程,甲、乙兩隊單獨完成這項工程所需時間比是2:3,兩隊合做6天可以完成.
(1)求兩隊單獨完成此工程各需多少天?
(2)甲乙兩隊合做6天完成任務(wù)后,學(xué)校付給他們30000元報酬,若按各自完成的工程量分配這筆錢,問甲、乙兩隊各得到多少元?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點O在對角線AC上,以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若tan∠ACB= ,BC=2,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,延長CB至點F,使CF=CA,連接AF,∠ACF的平分線分別交AF,AB,BD于點E,N,M,連接EO.
(1)已知BD= ,求正方形ABCD的邊長;
(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
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【題目】如圖,D 是 AB 邊上的中點,將△ABC 沿過點 D 的直線折疊,DE 為折痕,使點 A 落在 BC 上 F處,若∠B=40°,則∠EDF=_____度.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,AD⊥BC,BD=2,延長AD到E,使AE=2AD,連接BE.
(1)求證:△ABE為等邊三角形;
(2)將一塊含60°角的直角三角板PMN如圖放置,其中點P與點E重合,且∠NEM=60°,邊NE與AB交于點G,邊ME與AC交于點F.求證:BG=AF;
(3)在(2)的條件下,求四邊形AGEF的面積.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若點P從點A出發(fā),以每秒4cm的速度沿折線A-C-B-A運動,設(shè)運動時間為t秒(t>0).
(1)若點P在AC上,且滿足PA=PB時,求出此時t的值;
(2)若點P恰好在∠BAC的角平分線上,求t的值;
(3)在運動過程中,直接寫出當t為何值時,△BCP為等腰三角形.
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【題目】觀察下列等式:
第1個等式:a1= = ﹣1,
第2個等式:a2= = ﹣ ,
第3個等式:a3= =2﹣ ,
第4個等式:a4= = ﹣2,
按上述規(guī)律,回答以下問題:
(1)請寫出第n個等式:an=;
(2)a1+a2+a3+…+an= .
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