Question

已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，EF⊥AC，垂足為F.

（1）求證：直線EF是⊙O的切線；

（2）當(dāng)直線DF與⊙O相切時，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）證明：連接OE

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠C=60°.

∵OB=OE，∴∠OEB=∠C =60°，∴OE∥AC.

∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°.∴∠OEF=∠EFC=90°. ∴ OE⊥EF，

∵⊙O與BC邊相交于點E，∴E點在圓上.

∴EF是⊙O的切線

(2) 連接DF,  DE.

∵DF是⊙O的切線，∴∠ADF=∠BDF=90°

設(shè)⊙O的半徑為r，則BD=2r，∵AB=4，∴AD=4-2r，

∵BD=2r，∠B=60°，∴DE=r,

 ∵∠BDE=30°，∠BDF=90°. ∴∠EDF=60°，∵DF、EF分別是⊙O的切線，

∴DF=EF=DE=r, 在Rt△ADF中，∵∠A=60°，

∴tan∠DFA=

解得.∴⊙O的半徑是