Question

【題目】將正方形ABCD放在如圖所示的直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),N點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，MN平行于y軸，E是BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)C落在MN上，折痕為直線EF.

(1)求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(2)求直線EF的解析式；

(3)設(shè)點(diǎn)P為直線EF上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P, F, G的三角形是等腰三角形?若存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）G點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3，4-）；（2）EF的解析式為：y=x+4-2；（3）P1（1，4-）、P2（，7-2），P3（-，2-1）、P4（3，4+）

【解析】分析：（1）點(diǎn)G的橫坐標(biāo)與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)相同，易得EM為BC的一半減去1，為1，EG=CE=2，利用勾股定理可得MG的長(zhǎng)度，4減MG的長(zhǎng)度即為點(diǎn)G的縱坐標(biāo)；

（2）由△EMG的各邊長(zhǎng)可得∠MEG的度數(shù)為60°，進(jìn)而可求得∠CEF的度數(shù)，利用相應(yīng)的三角函數(shù)可求得CF長(zhǎng)，4減去CF長(zhǎng)即為點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，設(shè)出直線解析式，把E，F(xiàn)坐標(biāo)代入即可求得相應(yīng)的解析式；

（3）以點(diǎn)F為圓心，FG為半徑畫弧，交直線EF于兩點(diǎn)；以點(diǎn)G為圓心，FG為半徑畫弧，交直線EF于一點(diǎn)；做FG的垂直平分線交直線EF于一點(diǎn)，根據(jù)線段的長(zhǎng)度和與坐標(biāo)軸的夾角可得相應(yīng)坐標(biāo)．

詳解：（1）易得EM=1，CE=2，

∵EG=CE=2，

∴MG=，

∴GN=4-；

G點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3，4-）；

（2）易得∠MEG的度數(shù)為60°，

∵∠CEF=∠FEG，

∴∠CEF=60°，

∴CF=2，

∴OF=4-2，

∴點(diǎn)F（0，4-2）．

設(shè)EF的解析式為y=kx+4-2，

易得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），

把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入可得k=，

∴EF的解析式為：y=x+4-2．

（3）P1（1，4-）、P2（，7-2），

P3（-，2-1）、P4（3，4+）