【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(0,4),B(-2,0),C(6,0).過點A作AD∥x軸交拋物線于點D,過點D作DE⊥x軸,垂足為E.M是四邊形OADE的對角線的交點,點F在y軸的負半軸上,坐標為(0,-2).
(1)求拋物線所對應的函數(shù)表達式,并直接寫出四邊形OADE的形狀;
(2)當點P,Q分別從C,F(xiàn)兩點同時出發(fā),均以每秒1個單位長度的速度沿CB,F(xiàn)A的方向運動,點P運動到點O時P,Q兩點同時停止運動.設運動時間為t秒,在運動過程中,以P,Q,O,M四點為頂點的四邊形的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)表達式,并寫出自變量的取值范圍.
【答案】(1) y=-x2+x+4,四邊形OADE為正方形;(2)當0≤t<2時,S=t2-5t+12;當2<t<6時,S=4.
【解析】(1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0)三點,把三點坐標代入拋物線表達式中,聯(lián)立方程解出a、b、c.
(2)過M作MN⊥OE于N,則MN=2,由題意可知CP=FQ=t,當0≤t<2時,OP=6-t,OQ=2-t,列出S與t的關系式,當t=2時,Q與O重合,點M、O、P、Q不能構成四邊形,當2<t<6時,連接MO,ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°,可證三角形全等,進而計算出三角形面積.
(1)∵拋物線經(jīng)過A(0,4)、B(-2,0)、C(6,0),
∴c=4,
,
解得a= ,b=,c=4.
∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4.
四邊形OADE為正方形.
(2)根據(jù)題意可知OE=OA=4,OC=6,OB=OF=2,
∴CE=2,CO=FA=6.
∵運動的時間為t秒,
∴CP=FQ=t.
過點M作MN⊥OE于點N,則MN=2.
如圖,
當0≤t<2時,OP=6-t,OQ=2-t,
∴S=S△OPM+S△OPQ= (6-t)×2+ (6-t)(2-t)= (6-t)(4-t),
即S=t2-5t+12.
當t=2時,點Q與點O重合,點M,O,P,Q不能構成四邊形.
如圖,
當2<t<6時,連結MO,ME,則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°.
∵FQ=CP=t,F(xiàn)O=CE=2,
∴OQ=EP,
∴△QOM≌△PEM,
∴S四邊形OPMQ=S△MOE=×4×2=4.
綜上所述,當0≤t<2時,S=t2-5t+12;
當2<t<6時,S=4.
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【題目】(1)(探究)若,則代數(shù)式
(類比)若,則的值為 ;
(2)(應用)當時,代數(shù)式的值是5,求當時, 的值;
(3)(推廣)當時,代數(shù)式的值為,當時,的值為 (含的式子表)
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【題目】如圖,正方形ABCD中(各邊都相等,各角都為直角),E為射線BC上一動點,點B關于直線AE的對稱點為,射線與射線CD相交于點F.設,.
(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為20,當點E在邊BC上運動(點E與B、C不重合)時):
①的周長始終不變,請你求出這個不變的值;
②當時,求y的值及的面積.
(2)如圖2,當點E在邊BC延長線上時,
①猜想BE、EF、DF之間的數(shù)量關系是__________.
②求證:的面積.
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【題目】為了解同學們每月零花錢的數(shù)額,校園小記者隨機調(diào)查了本校部分同學,根據(jù)調(diào)查結果,繪制出了如下兩個尚不完整的統(tǒng)計表.調(diào)查結果統(tǒng)計表
組別 | 分組(單位:元) | 人數(shù) |
4 | ||
16 | ||
2 |
調(diào)查結果扇形統(tǒng)計圖
請根據(jù)以上圖表,解答下列問題:
(1)這次被調(diào)查的同學共有 人, , ;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中扇形的圓心角的度數(shù);
(3)若該校共有學生1000人,請估計每月零花錢的數(shù)額在范圍的人數(shù).
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【題目】如圖,某建筑物AC頂部有一旗桿AB,且點A,B,C在同一條直線上,小明在地面D處觀測旗桿頂端B的仰角為30°,然后他正對建筑物的方向前進了20米到達地面的E處,又測得旗桿頂端B的仰角為60°,已知建筑物的高度AC=12m,求旗桿AB的高度(結果精確到0.1米).參考數(shù)據(jù):≈1.73,≈1.41.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,PB與⊙O相切于點B,連接PA交⊙O于點C,連接BC.
(1)求證:∠BAC=∠CBP;
(2)求證:PB2=PCPA;
(3)當AC=6,CP=3時,求sin∠PAB的值.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點P是弦AC上一動點(不與A,C重合),過點P作PE⊥AB,垂足為E,射線EP交于點F,交過點C的切線于點D.
(1)求證:DC=DP;
(2)若∠CAB=30°,當F是的中點時,判斷以A,O,C,F為頂點的四邊形是什么特殊四邊形?說明理由.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)若AC與BD交于點O,求證:AO=CO.
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【題目】某水果批發(fā)市場規(guī)定,一次購買蘋果不超過100kg(包括100kg),批發(fā)價為5元,如果一次購買100kg以上蘋果,超過100kg的部分蘋果價格打8折.
(I)請?zhí)顚懴卤?/span>
購買量/kg | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | … |
付款金額/元 | 0 | 250 | _ | 700 | __ | … |
(Ⅱ)寫出付款金額關于購買量的函數(shù)解析式;
(Ⅲ)如果某人付款2100元,求其購買蘋果的數(shù)量.
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