Question

5．在?ABCD中，對角線AC、BD相交于O，EF過點O，且AF⊥BC．
（1）求證：△BFO≌△DEO；
（2）若EF平分∠AEC，試判斷四邊形AFCE的形狀，并證明．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線性質(zhì)得出OA=OC，∠OAE=∠OCF，證△AOE≌△COF，推出OE=OF，即可得出四邊形是矩形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠OBF=∠ODE，
在△BFO和△DEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠ODE}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\\{∠BOF=∠DOE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BFO≌△DEO（ASA）；
（2）解：四邊形AFCE是正方形；理由如下：
∵△BFO≌△DEO，
∴BF=DE，
∴CF=AE，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴四邊形AFCE是矩形，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴四邊形AFCE是正方形．

點評 本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)的應用，主要考查學生的推理能力．