Question

20．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，延長AC至點F，并連接BF，使∠CAB=2∠CBF．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB=10，tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，求BC及BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接AE．欲證BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF即可；
（2）作輔助線CG（過點C作CG⊥BF于點G）構(gòu)建平行線BF∥CG．由直角三角函數(shù)和勾股定理求得AE=4$\sqrt{5}$，BC=2BE=4$\sqrt{5}$，然后通過△ABE∽△CBG，求得GC和BG，進而求得AG，然后根據(jù)△AGC∽△ABF，即可求得BF．

解答 （1）證明：連接AE．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠BAE+∠ABE=90°（直角三角形的兩個銳角互余）；
又∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE；
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，即AB⊥BF，
∵OB是半徑，
∴BF為⊙O的切線；

（2）解：過點C作CG⊥AB于點G．
∵tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BAE=$\frac{1}{2}$，
設(shè)AE=2x，BE=x，
在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，
∴x²+（2x）²=100，
解得x=2$\sqrt{5}$，
∴AE=4$\sqrt{5}$，BC=2BE=4$\sqrt{5}$，
∵∠AEB=∠CGB=90°，∠ABE=∠CBG，
∴△ABE∽△CBG，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AE}{CG}$=$\frac{BE}{BG}$，即$\frac{10}{4\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{CG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{BG}$，
∴CG=8，BG=4，
∴AG=AB-BG=10-4=6，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{GC}{BF}$，
∴BF=$\frac{GC•AB}{AG}$=$\frac{40}{3}$．

點評 本題考查了圓的綜合題：切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線截線段成比例、直角所對的圓周角是直角、三角形相似的判定和性質(zhì)等知識點．