Question

設(shè)二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），與y軸交于C點(diǎn)，線段AO與OB的長(zhǎng)的積等于6（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），連接AC、BC，求sinC的值．

Answer 1

分析：設(shè)二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），那么OA=|x₁|，OB=|x₂|，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x₁+x₂=-（m-2），x₁x₂=-3（m+1），而線段AO與OB的長(zhǎng)的積等于6，由此可以求出m，也就求出了拋物線的解析式，然后求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用三角函數(shù)的定義即可求出sinC的值．

解答：解：∵二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），
∴設(shè)A、B的坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），
∴OA=|x₁|，OB=|x₂|，
∴x₁+x₂=-（m-2），x₁x₂=-3（m+1），
而線段AO與OB的長(zhǎng)的積等于6，
∴3（m+1）=±6，
∴m=1或-3，
當(dāng)m=1時(shí)，拋物線解析式為y=-x²-x+6，
∴A、B的坐標(biāo)為（-3，0），（2，0），C（0，6）
∴AC=3

5

，BC=2

10

，AB=5，
如圖拋物線過(guò)A作AD⊥BC于D，
則S_△ABC=

1

2

CO•BA=

1

2

AD•BC，
∴AD=

CO×BA

BC

=

3

4

10

，
∴sinC=

AD

AC

=

2

4

；
當(dāng)m=-3時(shí)，拋物線解析式為y=-x²-5x-6，
∴A、B的坐標(biāo)為（-3，0），（-2，0），C（0，-6）
∴AC=3

5

，BC=2

10

，AB=1，
如圖拋物線過(guò)A作AD⊥BC于D，
則S_△ABC=

1

2

CO•BA=

1

2

AD•BC，
∴AD=

CO×BA

BC

=

3

10

10

，
∴sinC=

AD

AC

=

2

10

；
所以sinC的值為

2

4

或

2

10

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，也考查了三角函數(shù)的定義、根與系數(shù)的關(guān)系和待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高，平時(shí)應(yīng)該加強(qiáng)訓(xùn)練．