已知二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)P(1,a),Q(2,10a).
(1)如果a,b,c都是整數(shù),且c<b<8a,求a,b,c的值.
(2)設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、B,與y軸的交點(diǎn)為C.如果關(guān)于x的方程x2+bx-c=0的兩個(gè)根都是整數(shù),求△ABC的面積.
分析:(1)代入兩點(diǎn)坐標(biāo),求得b、c(用a表示),再由已知c<b<8a,聯(lián)立不等式組求得a、b、c的值;
(2)設(shè)出程x2+bx-c=0的兩個(gè)根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系與因式分解求得兩根,得出函數(shù)解析式,進(jìn)一步求得圖象與x、y軸的交點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)解答問題.
解答:解:點(diǎn)P(1,a)、Q(2,10a)在二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象上,
故1+b-c=a,4+2b-c=10a,
解得b=9a-3,c=8a-2;
(1)由c<b<8a知
8a-2<9a-3
9a-3<8a
,
解得1<a<3,
又a為整數(shù),所以a=2,b=9a-3=15,c=8a-2=14;

(2)設(shè)m,n是方程的兩個(gè)整數(shù)根,且m≤n.
由根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=-b=3-9a,mn=-c=2-8a,
消去a,得9mn-8(m+n)=-6,
兩邊同時(shí)乘以9,得81mn-72(m+n)=-54,分解因式,得(9m-8)(9n-8)=10.
所以
9m-8=1
9n-8=10
9m-8=-10
9n-8=-1
9m-8=-5
9n-8=-2
9m-8=2
9n-8=5
,
解得
m=1
n=2
m=-
2
9
n=
7
9
m=
1
3
n=
2
3
m=
10
9
n=
13
9

又∵m,n是整數(shù),所以后面三組解舍去,
故m=1,n=2.
因此,b=-(m+n)=-3,c=-mn=-2,
二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x+2.
易求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為(1,0)和(2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),
所以△ABC的面積為
1
2
×(2-1)×2=1
點(diǎn)評(píng):此題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、根與系數(shù)的關(guān)系、不等式組、以及三角形的面積計(jì)算公式.
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22、已知二次函數(shù)y=x2+mx+m-5,
(1)求證:不論m取何值時(shí),拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)求當(dāng)m取何值時(shí),拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短.

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已知二次函數(shù)y=x2+(2a+1)x+a2-1的最小值為0,則a的值是( 。
A、
3
4
B、-
3
4
C、
5
4
D、-
5
4

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精英家教網(wǎng)已知二次函數(shù)y=-x2+2x+m的部分圖象如圖所示,則關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解為( 。
A、x1=1,x2=3B、x1=0,x2=3C、x1=-1,x2=1D、x1=-1,x2=3

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8、已知二次函數(shù)y1=x2-x-2和一次函數(shù)y2=x+1的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-1,0),B(3,4),當(dāng)y1>y2時(shí),自變量x的取值范圍是( 。

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已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象如圖所示,它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).
(1)試求二次函數(shù)的解析式;
(2)求y的最大值;
(3)寫出當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍.

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