【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,拋物線y=ax2+bx+3x軸于B、C兩點(點B在左,點C在右),交y軸于點A,且OA=OC,B(﹣1,0).

(1)求此拋物線的解析式;

(2)如圖2,點D為拋物線的頂點,連接CD,點P是拋物線上一動點,且在C、D兩點之間運動,過點PPEy軸交線段CD于點E,設點P的橫坐標為t,線段PE長為d,寫出dt的關系式(不要求寫出自變量t的取值范圍);

(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BD,在BD上有一動點Q,且DQ=CE,連接EQ,當∠BQE+DEQ=90°時,求此時點P的坐標.

【答案】(1)拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3;(2)d=﹣t2+4t﹣3;(3)P(,).

【解析】

(1)由拋物線y=ax2+bx+3y軸交于點A,可求得點A的坐標,又OA=OC,可求得點C的坐標,然后分別代入B,C的坐標求出a,b,即可求得二次函數(shù)的解析式;
(2)首先延長PEx軸于點H,現(xiàn)將解析式換為頂點解析式求得D1,4),設直線CD的解析式為y=kx+b,再將點C30)、D1,4)代入,得y=2x+6,則Et,﹣2t+6),Pt,﹣t2+2t+3),PH=t2+2t+3,EH=2t+6,再根據(jù)d=PHEH即可得答案;
(3)首先,作DKOC于點K,作QMx軸交DK于點T,延長PE、EPOCH、交QMM,作ERDK于點R,記QEDK的交點為N,根據(jù)題意在(2)的條件下先證明△DQT≌△ECH,再根據(jù)全等三角形的性質即可得ME=42(﹣2t+6),QM= t1+3t),即可求得答案.

(1)當x=0時,y=3,

A(0,3)即OA=3,

OA=OC,

OC=3,

C(3,0),

∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點B(﹣1,0),C(3,0)

,

解得:,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3;

(2)如圖1,延長PEx軸于點H,

y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

D(1,4),

設直線CD的解析式為y=kx+b,

將點C(3,0)、D(1,4)代入,得:

,

解得:

y=﹣2x+6,

E(t,﹣2t+6),P(t,﹣t2+2t+3),

PH=﹣t2+2t+3,EH=﹣2t+6,

d=PH﹣EH=﹣t2+2t+3﹣(﹣2t+6)=﹣t2+4t﹣3;

(3)如圖2,作DKOC于點K,作QMx軸交DK于點T,延長PE、EPOCH、交QMM,作ERDK于點R,記QEDK的交點為N,

D(1,4),B(﹣1,0),C(3,0),

BK=2,KC=2,

DK垂直平分BC,

BD=CD,

∴∠BDK=CDK,

∵∠BQE=QDE+DEQ,BQE+DEQ=90°,

∴∠QDE+DEQ+DEQ=90°,即2CDK+2DEQ=90°,

∴∠CDK+DEQ=45°,即∠RNE=45°,

ERDK,

∴∠NER=45°,

∴∠MEQ=MQE=45°,

QM=ME,

DQ=CE,DTQ=EHC、QDT=CEH,

∴△DQT≌△ECH,

DT=EH,QT=CH,

ME=4﹣2(﹣2t+6),

QM=MT+QT=MT+CH=t﹣1+(3﹣t),

4﹣2(﹣2t+6)=t﹣1+(3﹣t),

解得:t=,

P(,).

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2

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12

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