Question

【題目】如圖，第一象限內(nèi)半徑為2的⊙C與y軸相切于點(diǎn)A，作直徑AD，過點(diǎn)D作⊙C的切線l交x軸于點(diǎn)B，P為直線l上一動點(diǎn)，已知直線PA的解析式為：y＝kx+3．

（1）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為p，寫出p隨k變化的函數(shù)關(guān)系式．

（2）設(shè)⊙C與PA交于點(diǎn)M，與AB交于點(diǎn)N，則不論動點(diǎn)P處于直線l上（除點(diǎn)B以外）的什么位置時，都有△AMN∽△ABP．請你對于點(diǎn)P處于圖中位置時的兩三角形相似給予證明；

（3）是否存在使△AMN的面積等于的k值？若存在，請求出符合的k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) p＝4k+3；(2)見解析;(3) 存在，k＝2±或k＝﹣2時，△AMN的面積等于,理由見解析

【解析】

（1）由切線的性質(zhì)知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四邊形OADB是矩形；根據(jù)⊙O的半徑是2求得直徑AD＝4，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將其代入直線方程y＝kx＋3即可知p變化的函數(shù)關(guān)系式；

（2）連接DN．∵直徑所對的圓周角是直角，∴∠AND＝90°，根據(jù)圖示易證∠AND＝∠ABD；然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代換可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA證明△AMN∽△ABP；

（3）存在．把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面積比．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)上方時，由相似三角形的面積比得到k24k2＝0，解關(guān)于k的一元二次方程；②當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時，由相似三角形的面積比得到k2＋1＝（4k＋3），解關(guān)于k的一元二次方程．

（1）∵y軸和直線l都是⊙C的切線，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，

∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四邊形OADB是矩形；∵⊙C的半徑為2，∴AD＝OB＝4；

∵點(diǎn)P在直線l上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，p）；又∵點(diǎn)P也在直線AP上，∴p＝4k+3；

（2）連接DN．∵AD是⊙C的直徑，∴∠AND＝90°，

∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，

∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP

（3）存在．理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝，

∵S△ABD＝ABDN＝ADDB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝，

∵△AMN∽△ABP，∴，即

當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)上方時，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），

或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），

S△ABP＝PBAD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），

∴，

整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+，k2＝2﹣

當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時，

∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PBAD＝[﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）

∴

化簡得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，

綜合以上所得，當(dāng)k＝2±或k＝﹣2時，△AMN的面積等于