【題目】(1)如圖①,△ABC是等邊三角形,△ABC所在平面上有一點(diǎn)P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形,問:具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有幾個(gè)?在圖中畫出來(lái).

(2)如圖②,正方形ABCD所在的平面上有一點(diǎn)P,使△PAB,△PBC,△PCD,△PDA都是等腰三角形,問:具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有幾個(gè)?在圖中畫出來(lái).

【答案】(1)10個(gè)(2)9個(gè)

【解析】試題分析:(1)點(diǎn)P在三角形的內(nèi)部時(shí),點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,點(diǎn)P是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),所以點(diǎn)P是三角形的外心;點(diǎn)P在三角形外部時(shí),每條邊的垂直平分線上的點(diǎn)只要能夠使頂點(diǎn)這條邊的兩端點(diǎn)連接而成的三角形是等腰三角形即可.

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得,滿足這樣的點(diǎn)首先有:兩條對(duì)角線的交點(diǎn),再以四個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫圓,在正方形里面和外面的交點(diǎn)一共有8個(gè).

試題解析:具體作法如下,

(1)10個(gè),如解圖①,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí),P是邊AB,BC,CA的垂直平分線的交點(diǎn);當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部時(shí),P是以三角形各頂點(diǎn)為圓心,邊長(zhǎng)為半徑的圓與三條垂直平分線的交點(diǎn),每條垂直平分線上得3個(gè)交點(diǎn).故具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P共有10個(gè).

(2)9個(gè),如解圖②,兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是1個(gè),以正方形各頂點(diǎn)為圓心,邊長(zhǎng)為半徑畫圓,在正方形里面和外面的交點(diǎn)一共有8個(gè),故具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P共有9個(gè).

點(diǎn)睛:本題主要考查垂直平分線的性質(zhì),正方形性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),要求學(xué)生熟練掌握利用垂直平分線的性質(zhì),正方形和等腰三角形的性質(zhì)找出符合條件的點(diǎn).

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(1)在點(diǎn)E,F運(yùn)動(dòng)的過程中,∠ECF的大小是否隨之變化?請(qǐng)說(shuō)明理由

(2)在點(diǎn)E,F運(yùn)動(dòng)的過程中A,EC,F為頂點(diǎn)的四邊形的面積變化了嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由

(3)連結(jié)EF在圖中找出所有和∠ACE相等的角,并說(shuō)明理由

(4)若點(diǎn)EF在射線BA,射線AD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去(1)中的結(jié)論還成立嗎?直接寫出結(jié)論不必說(shuō)明理由

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