Question

11．如圖，正方形ABCD的邊長為2，AE=EB，MN=1，線段MN的兩端分別在CB、CD上滑動，那么當(dāng)CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時，△ADE與△MNC相似．

Answer 1

分析 先利用勾股定理計算出DE，再分類討論：當(dāng)AE：CM=DE：MN時，△AED∽△CMN，當(dāng)AD：CM=DE：MN時，△AED∽△CMN，然后分別利用相似比計算出對應(yīng)的CM的值即可．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=AD=2，
∵AE=EB=1，
∴DE=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)AE：CM=DE：MN時，△AED∽△CMN，即1：CM=$\sqrt{5}$：1，解得CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
當(dāng)AD：CM=DE：MN時，△AED∽△CMN，即2：CM=$\sqrt{5}$：1，解得CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
綜上所述，CM為$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時，△ADE與△MNC相似．
故答案為$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；兩組對應(yīng)邊的比相等兩個直角三角形相似．注意分類討論思想的應(yīng)用．