Question

8．如圖所示，△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于點F，過F作FG⊥CD交BE延長線于G，GF與AC于M，求證：BG=AF+FG．

Answer 1

分析 過C作AB的平行線交AF的延長線于P，證明△ABE≌△CAP，△MCF≌△PCF，得BE=AP．MF=PF，EG=MG，即可推出答案．

解答 證明：如圖，過點C作CP∥AB，交AF的延長線于點P，

在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAP+∠ABE=90°，∠ACD+∠FMC=90°
∴∠BAP=∠FMC，
又∵AB∥PC，
∴∠BAP=∠P
∴∠FMC=∠P．
∵AF⊥BE，∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC
在△ABE和△CAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAP}\\{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAP（ASA），
∴BE=AP．
∵CP∥AB，∠ACP=90°，∠ACB=45°，
∴∠MCF=∠PCF=45°，
在△MCF和△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMC=∠P}\\{∠MCF=∠PCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△MCF≌△PCF（AAS），
∴MF=PF，∠P=∠FMC，
又∵∠FMC=∠GME，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，
則BG=BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG=AF+FG

點評 本題考查學生對等腰直角三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是過C作AB的平行線交AF的延長線于P，證明△ABE≌△ACP，△MCF≌△PCF．