Question

8．已知直線y₁=2x+1與拋物線y₂=ax²+bx+c，拋物線y₂與y軸交于點(diǎn)A（0，5），與x軸分別交于B（1，0），C（5，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式并在同一坐標(biāo)系中畫出直線和拋物線的示意圖；
（2）結(jié)合圖象回答：
①y₂≥0時(shí)，x的取值范圍；
②0＜x＜5時(shí)，y₂的取值范圍；
③y₂≥y₁時(shí)，x的取值范圍；
④關(guān)x于的方程ax²+bx+c=k有兩個(gè)不等實(shí)根，k的取值范圍是什么？
（3）將拋物線在x軸下方部分沿x軸翻折到軸上方后，B，C間的部分向左平移n（n＞2）個(gè)單位后得到的圖象記為圖象G，同時(shí)將y₁向上平移n個(gè)單位，請結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解．
（2）①y₂≥0時(shí)，圖象在x軸上方即可寫出y₂的范圍．
②0＜x＜5時(shí)，在圖象上可以直接得出y₂的范圍．
③解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出x的取值范圍．
④由圖象直接可知結(jié)論．
（3）翻折后的B、C之間拋物線為y=-（x²-6x+5）=-X²+6X-5=-（x-1）（x-5），（1≤x≤5），平移后的拋物線：y=-（x-1+n）（x-5+n），1-n＜x＜5-n，此時(shí)直線平移后的解析式為y=2x+1+n，如果平移后的直線與平移后的二次函數(shù)相切，則方程2x+1+n=-（x-1+n）（x-5+n）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即x²-（4-2n）x+n²-5n+6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△=16-16n+4n²-4n²+20n-24=0即n=2求出的n的值與已知n＞0相矛盾，得出平移后的直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為（1-n，0），（5-n，0），代入直線的解析式，求出n的值，即可得出答案．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{a+b+c=0}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-6}\\{c=5}\end{array}\right.$，．
故拋物線的解析式為y=x²-6x+5．
圖象如圖1．
（2）由圖象可知：
①x≤1或x≥5
②∵拋物線頂點(diǎn)（3，-4）
∴0＜x＜5時(shí)，-4＜y₂＜5．
③由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{y={x}^{2}-6x+5}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4+2\sqrt{3}}\\{y=9+4\sqrt{3}}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=4-2\sqrt{3}}\\{y=9-4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y₂≥y₁時(shí)，
x≤4-2$\sqrt{3}$或x≥4+2$\sqrt{3}$．
④由圖象可知k＞-4．
（3）如圖2，翻折后的B、C之間拋物線為y=-（x²-6x+5）=-X²+6X-5=-（x-1）（x-5），（1≤x≤5），
平移后的拋物線：y=-（x-1+n）（x-5+n），1-n＜x＜5-n，
此時(shí)直線平移后的解析式為y=2x+1+n，
如果平移后的直線與平移后的二次函數(shù)相切，
則方程2x+1+n=-（x-1+n）（x-5+n）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
即x²-（4-2n）x+n²-5n+6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
△=16-16n+4n²-4n²+20n-24=0即n=2，
∵n＞2，
∴平移后的直線與平移后的拋物線不相切，
∴結(jié)合圖象可知，如果平移后的直線與拋物線有公共點(diǎn)，
則兩個(gè)臨界的交點(diǎn)為（1-n，0），（5-n，0），
當(dāng)直線y=2x+1+n經(jīng)過（5-n，0）時(shí)，
0=2（5-n）+1+n，n=11，
即n的取值范圍為2≤n≤11．

點(diǎn)評 本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、根據(jù)圖象確定變量的取值范圍、一次函數(shù)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、根的判別式等知識點(diǎn)的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．