【題目】如圖,拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.
(1)求A、B、C的坐標;
(2)設點H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點,且△HAB的面積是6,求點的坐標;
(3)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合),過點M作x軸的垂線,與直線AC交于點E,與拋物線交于點P,過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q,過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊,當矩形PQMN的周長最大時,求△AEM的面積.
【答案】(1)A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3);(2)H(﹣2,3);(3).
【解析】
試題分析:(1)通過解析式即可得出C點坐標,令y=0,解方程得出方程的解,即可求得A、B的坐標.
(2)根據(jù)AB的長和三角形面積求得H的縱坐標為3,代入解析式即可求得橫坐標;
(3)設M點橫坐標為m,則PM=﹣m2﹣2m+3,MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2,矩形PMNQ的周長d=﹣2m2﹣8m+2,將﹣2m2﹣8m+2配方,根據(jù)二次函數(shù)的性質,即可得出m的值,然后求得直線AC的解析式,把x=m代入可以求得三角形的邊長,從而求得三角形的面積.
解:(1)由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知,C(0,3),
令y=0,則0=﹣x2﹣2x+3,解得x=﹣3或x=1,
∴A(﹣3,0),B(1,0).
(2)∵A(﹣3,0),B(1,0).
∴AB=4,
∵△HAB的面積是6,點H是第二象限內(nèi)拋物線上的一點,
∴H的縱坐標為3,
把y=3代入y=﹣x2﹣2x+3得3=﹣x2﹣2x+3,解得x1=0,x2=﹣2,
∴H(﹣2,3);
(3)由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知,對稱軸為x=﹣1,
設M點的橫坐標為m,則PM=﹣m2﹣2m+3,MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2,
∴矩形PMNQ的周長=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10,
∴當m=﹣2時矩形的周長最大.
∵A(﹣3,0),C(0,3),設直線AC解析式為y=kx+b,
則解得:,
∴解析式y=x+3,當x=﹣2時,則E(﹣2,1),
∴EM=1,AM=1,
∴S=AMEM=.
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