Question

（本小題滿分10分）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足為點E，點F在BD上，連接AF，EF．

（1）求證：AD=ED；

（2）如果AF∥CD，求證：四邊形ADEF是菱形．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件證明ΔABD≌ΔEBD，可得AD=ED；（2）由（1）知AD=ED，所以要證明四邊形ADEF是菱形，只需要證明AF∥DE，AF=DE，得四邊形ADEF是平行四邊形即可．

試題解析：證明：（1）∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD．

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD．∴∠ADB=∠CDB．（2分）

又∵AB⊥AD，BE⊥CD，∴∠BAD=∠BED=90°．

于是，在ΔABD和ΔEBD中，∵∠ADB=∠CDB，

∠BAD=∠BED，BD=BD，∴ΔABD≌ΔEBD． （4分）

∴AD=ED． （5分）

（2） ∵AF∥CD，∴∠AFD=∠EDF．

∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD． （7分）

又∵AD=ED，∴AF=DE．

于是，由AF∥DE，AF=DE，

得四邊形ADEF是平行四邊形． （9分）

又∵AD=ED，∴四邊形ADEF是菱形． （10分）

考點：1. 等腰三角形的性質(zhì)2. 全等三角形的判定與性質(zhì)；3. 菱形的判定.