【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,連結(jié)BC,點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線l,交直線BC于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)當(dāng)P位于y軸右邊的拋物線上運(yùn)動時,過點(diǎn)C作CF直線l,F(xiàn)為垂足,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時,以P,C,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與OBC相似?并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在位于直線BC上方的拋物線上運(yùn)動時,連結(jié)PC,PB,請問PBC的面積S能否取得最大值?若能,請出最大面積S,并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo),若不能,請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6)或(4,0).(3)△PBC的面積的最大值為8.

【解析】試題分析:(1)將點(diǎn)A(-1,0),B(4,0)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,求得b、c的值即可;

(2)先由函數(shù)解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo),從而得到△OBC為等腰直角三角形,故此當(dāng)CF=PF時,以PC,F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,-a2+3a+4).則CF=a,PF=-a2+3a,接下來列出關(guān)于a的方程,從而可求得a的值,于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)連接EC.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,-a2+3a+4).則OE=a,PE=-a2+3a+4,EB=4-a.然后依據(jù)S△PBC=S四邊形PCEB-S△CEB列出△PBC的面積與a的函數(shù)關(guān)系式,從而可求得三角形的最大面積.

試題解析:(1)將點(diǎn)A(-1,0),B(4,0)的坐標(biāo)代入函數(shù)的表達(dá)式得:

,

解得:b=3,c=4.

拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.

(2)如圖1所示:

∵令x=0得y=4,

OC=4.

OC=OB

∵∠CFP=∠COB=90°,

FC=PF時,以PC,F為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,-a2+3a+4)(a>0).

CF=a,PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|.

∴|a2-3a|=a

解得:a=2,a=4.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6)或(4,0).

(3)如圖2所示:連接EC

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,-a2+3a+4).則OE=aPE=-a2+3a+4,EB=4-a

S四邊形PCEB=OBPE=×4(-a2+3a+4),S△CEB=EBOC=×4×(4-a),

S△PBC=S四邊形PCEB-S△CEB=2(-a2+3a+4)-2(4-a)=-2a2+8a

a=-2<0,

∴當(dāng)a=2時,△PBC的面積S有最大值.

P(2,6),△PBC的面積的最大值為8.

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