【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B(A點在B點的左側(cè))與y軸交于點C.
(1)如圖1,連接AC、BC,若△ABC的面積為3時,求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點P為第四象限拋物線上一點,連接PC,若∠BCP=2∠ABC時,求點P的橫坐標(biāo);
(3)如圖3,在(2)的條件下,點F在AP上,過點P作PH⊥x軸于H點,點K在PH的延長線上,AK=KF,∠KAH=∠FKH,PF=﹣4 a,連接KB并延長交拋物線于點Q,求PQ的長.
【答案】
(1)
解:當(dāng)y=0時,ax2﹣5ax+4a=0,解得x1=1,x2=4,則A(1,0),B(4,0),
∴AB=3,
∵△ABC的面積為3,
∴ 4OC=3,解得OC=2,則C(0,﹣2),
把C(0,﹣2)代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2,解得a=﹣ ,
∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2
(2)
解:過點P作PH⊥x軸于H,作CD⊥PH于點H,如圖2,設(shè)P(x,ax2﹣5ax+4a),則PD=4a﹣(ax2﹣5ax+4a)=﹣ax2+5ax,
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD,
∵∠BCP=2∠ABC,
∴∠PCD=∠ABC,
∴Rt△PCD∽Rt△CBO,
∴PD:OC=CD:OB,
即(﹣ax2+5ax):(﹣4a)=x:4,解得x1=0,x2=6,
∴點P的橫坐標(biāo)為6
(3)
解:過點F作FG⊥PK于點G,如圖3,
∵AK=FK,
∴∠KAF=∠KFA,
而∠KAF=∠KAH+∠PAH,∠KFA=∠PKF+∠KPF,
∵∠KAH=∠FKP,
∴∠HAP=∠KPA,
∴HA=HP,
∴△AHP為等腰直角三角形,
∵P(6,10a),
∴﹣10a=6﹣1,解得a=﹣ ,
在Rt△PFG中,∵PF=﹣4 a=2 ,∠FPG=45°,
∴FG=PG= PF=2,
在△AKH和△KFG中
,
∴△AKH≌△KFG,
∴KH=FG=2,
∴K(6,2),
設(shè)直線KB的解析式為y=mx+n,
把K(6,2),B(4,0)代入得 ,
解得 ,
∴直線KB的解析式為y=x﹣4,
當(dāng)a=﹣ 時,拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2,
解方程組 ,
解得 或 ,
∴Q(﹣1,﹣5),
而P(6,﹣5),
∴PQ∥x 軸,
∴QP=7.
【解析】(1)通過解方程ax2﹣5ax+4a=0可得到A(1,0),B(4,0),然后利用三角形面積公式求出OC得到C點坐標(biāo),再把C點坐標(biāo)代入y=ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到拋物線的解析式;(2)過點P作PH⊥x軸于H,作CD⊥PH于點H,如圖2,設(shè)P(x,ax2﹣5ax+4a),則PD=﹣ax2+5ax,通過證明Rt△PCD∽Rt△CBO,利用相似比可得到(﹣ax2+5ax):(﹣4a)=x:4,然后解方程求出x即可得到點P的橫坐標(biāo);(3)過點F作FG⊥PK于點G,如圖3,先證明∠HAP=∠KPA得到HA=HP,由于P(6,10a),則可得到﹣10a=6﹣1,解得a=﹣ ,再判斷Rt△PFG單位等腰直角三角形得到FG=PG= PF=2,接著證明△AKH≌△KFG,得到KH=FG=2,則K(6,2),然后利用待定系數(shù)法求出直線KB的解析式為y=x﹣4,再通過解方程組 得到Q(﹣1,﹣5),利用P、Q點的坐標(biāo)可判斷PQ∥x 軸,于是可得到QP=7.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校八年級共有三個班,都參加了學(xué)校舉行的書法繪畫大賽,三個班根據(jù)初賽成績分別選出了10名同學(xué)參加決賽,這些選手的決賽成績(滿分100分)如下表所示:
決賽成績(單位:分) | |
八年1班 | 80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 |
八年2班 | 85 85 87 97 85 76 88 77 87 88 |
八年3班 | 82 80 78 78 81 96 97 87 92 84 |
解答下列問題:
(1)請?zhí)顚懴卤恚?/span>
平均數(shù)(分) | 眾數(shù)(分) | 中位數(shù)(分) | |
八年1班 | 85.5 |
| 87 |
八年2班 | 85.5 | 85 |
|
八年3班 |
| 78 | 83 |
(2)請從以下兩個不同的角度對三個班級的決賽成績進(jìn)行
①從平均數(shù)和眾數(shù)相結(jié)合看(分析哪個班級成績好些).
②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看(分析哪個班級成績好些).
(3)如果在每個班級參加決賽的選手中分別選出3人參加總決賽,你認(rèn)為哪個班級的實力更強一些?請簡要說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】端午節(jié)快到了,某市共青團(tuán)組織以“中學(xué)生最喜歡項節(jié)日活動”為主題題進(jìn)行了簡單的隨機(jī)抽樣調(diào)查,讓學(xué)生從“郊外踏青、品嘗美食、觀賞電影、參觀室館”四項活動中選擇一項,然后繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中的信息,回答下列問題:
(1)這次抽樣調(diào)查中共調(diào)查了人;扇形統(tǒng)計圖中郊外踏青部分的圓心角的度數(shù)是°;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)某市有中學(xué)生3萬人,請估計選擇郊外踏青的人數(shù)有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一部記錄片播放了關(guān)于地震的資料及一個有關(guān)地震預(yù)測的討論,一位專家指出:“在未來20年,A城市發(fā)生地震的機(jī)會是三分之二”
對這位專家的陳述下面有四個推斷:
①×20≈13.3,所以今后的13年至14年間,A城市會發(fā)生一次地震;
②大于50%,所以未來20年,A城市一定發(fā)生地震;
③在未來20年,A城市發(fā)生地震的可能性大于不發(fā)生地震的可能性;
④不能確定在未來20年,A城市是否會發(fā)生地震;
其中合理的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論正確的是( )
A.x2﹣2是二次二項式
B.單項式﹣x2的系數(shù)是1
C.使式子 有意義的x的取值范圍是x>﹣2
D.若分式 的值等于0,則a=±1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小剛根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”的經(jīng)驗,想通過由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律.
以下是小剛的探究過程,請補充完整;
(1)具體運算,發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
特例1:;特例2:;特例3:;特例4: (舉一個符合上述運算特征的例子)
(2)觀察、歸納,得出猜想.
如果n為正整數(shù),用含n的式子表示這個運算規(guī)律; .
(3)證明猜想,確認(rèn)猜想的正確性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如菱形就是和諧四邊形.
(1)如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求證:BD是梯形ABCD的和諧線;
(2)如圖2,在12×16的網(wǎng)格圖上(每個小正方形的邊長為1)有一個扇形BAC,點A.B.C均在格點上,請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D,使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線,并畫出相應(yīng)的和諧四邊形;
(3)四邊形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四邊形ABCD的和諧線,求∠BCD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=40°,∠C=60°,AD⊥BC于D,AE是∠BAC的平分線.
(1)求∠DAE的度數(shù);
(2)寫出以AD為高的所有三角形.
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