【題目】如圖,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在OA邊上的點E處.分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,D,C三點.
(1)求AD的長及拋物線的解析式;
(2)一動點P從點E出發(fā),沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動,同時動點Q從點C出發(fā),沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動,當(dāng)點P運動到點C時,兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似?
(3)點N在拋物線對稱軸上,點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N,使以M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M與點N的坐標(biāo)(不寫求解過程);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:∵四邊形ABCO為矩形,
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10.
由題意,△BDC≌△EDC.
∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD.
由勾股定理易得EO=6.
∴AE=10﹣6=4,
設(shè)AD=x,則BD=ED=8﹣x,由勾股定理,得x2+42=(8﹣x)2,
解得,x=3,∴AD=3.
∵拋物線y=ax2+bx+c過點D(3,10),C(8,0),O(0,0)
∴ ,
解得
∴拋物線的解析式為:y=﹣ x2+ x
(2)解:方法一:∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,
∴∠DEA=∠OCE,
由(1)可得AD=3,AE=4,DE=5.
而CQ=t,EP=2t,∴PC=10﹣2t.
當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,
∴ = ,即 = ,
解得t= .
當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,
∴ = ,即 = ,
解得t= .
∴當(dāng)t= 或 時,以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似
方法二:∵E(0,6),C(8,0),
∴l(xiāng)EC:y=﹣ x+6,
∵ ,EP=2t,
∴Px= t,
∴P( t,﹣ t+6),Q(8﹣t,0),
∵△PQC∽△ADE,且∠ECO=∠AED,
∴PQ⊥OC或PQ⊥PC.
當(dāng)PQ⊥OC時,Px=Qx,即 t=8﹣t,∴t1= ,
當(dāng)PQ⊥PC時,KPQKPC=﹣1,∴t2=
(3)解:方法一:假設(shè)存在符合條件的M、N點,分兩種情況討論:
①
EC為平行四邊形的對角線,由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點,若四邊形MENC是平行四邊形,那么M點必為拋物線頂點;
則:M(4, );而平行四邊形的對角線互相平分,那么線段MN必被EC中點(4,3)平分,則N(4,﹣ );
②EC為平行四邊形的邊,則EC MN,設(shè)N(4,m),則M(4﹣8,m+6)或M(4+8,m﹣6);
將M(﹣4,m+6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣38,此時 N(4,﹣38)、M(﹣4,﹣32);
將M(12,m﹣6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣26,此時 N(4,﹣26)、M(12,﹣32);
綜上,存在符合條件的M、N點,且它們的坐標(biāo)為:
①M1(﹣4,﹣32),N1(4,﹣38);②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26);③M3(4, ),N3(4,﹣ )
方法二:M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形.設(shè)N(4,t),C(8,0),E(0,6),
∴ ,
∴M1(4,6﹣t),同理M2(﹣4,t+6),M3(12,t﹣6),
∴﹣ t,∴t=﹣ ,
﹣ ×(﹣4)2+ (﹣4)=t+6,∴t=﹣38,
﹣ ×122+ ×12=t﹣6,∴t=﹣26,
綜上,存在符合條件的M、N點,且它們的坐標(biāo)為:
①M1(4, ),N1(4,﹣ );②M2(12,﹣32),N2(4,﹣26);
③M3(﹣4,﹣32),N3(4,﹣38).
【解析】(1)根據(jù)折疊圖形的軸對稱性,△CED、△CBD全等,首先在Rt△CEO中求出OE的長,進(jìn)而可得到AE的長;在Rt△AED中,AD=AB﹣BD、ED=BD,利用勾股定理可求出AD的長.進(jìn)一步能確定D點坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.(2)由于∠DEC=90°,首先能確定的是∠AED=∠OCE,若以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似,那么∠QPC=90°或∠PQC=90°,然后在這兩種情況下,分別利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出對應(yīng)的t的值.(3)由于以M,N,C,E為頂點的四邊形,邊和對角線都沒明確指出,所以要分情況進(jìn)行討論:①EC做平行四邊形的對角線,那么EC、MN必互相平分,由于EC的中點正好在拋物線對稱軸上,所以M點一定是拋物線的頂點;②EC做平行四邊形的邊,那么EC、MN平行且相等,首先設(shè)出點N的坐標(biāo),然后結(jié)合E、C的橫、縱坐標(biāo)差表示出M點坐標(biāo),再將點M代入拋物線的解析式中,即可確定M、N的坐標(biāo).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一動點從原點出發(fā),按向上.向右.向下.向右的方向依次平移,每次移動一個單位,得到(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),…那么點的坐標(biāo)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG,若將正方形OEFG繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150°,兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積( )
A. 不變 B. 先增大再減小 C. 先減小再增大 D. 不斷增大
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:E、F分別是AB和CD上的點,DE、AF分別交BC于點G、H, AB∥CD,∠A=∠D,試說明:(1)AF∥ED;(2)∠BED=∠A;(3) ∠1=∠2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖矩形ABCD中,AD=1,CD= ,連接AC,將線段AC、AB分別繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AE、AF,線段AE與弧BF交于點G,連接CG,則圖中陰影部分面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ ABC 和△ADE都是等邊三角形,點 B 在 ED 的延長線上.
(1)求證:△ABD≌△ACE.
(2)求證:AE+CE=BE.
(3)求∠BEC 的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點B、C直角頂點X在△ABC內(nèi)部,若∠A=30,則∠ABC+∠ACB=_____,∠XBC+∠XCB=________
(2)如圖2,改變直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經(jīng)過點B、C,直角頂點X還在△ABC內(nèi)部,那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化?若變化,請舉例說明;若不變化,請求出∠ABX+∠ACX的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,那么在下列各條件中,不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )
A. AB=A′B′=5,BC=B′C′=3 B. AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C. AC=A′C′=5,BC=B′C′=3 D. AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
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