【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q(2,﹣1),且與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),點(diǎn)P是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與A不重合),過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸,交AC于點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在題(2)的結(jié)論下,若點(diǎn)E在x軸上,點(diǎn)F在拋物線上,問(wèn)是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形?若存在,求點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線的頂點(diǎn)為Q(2,﹣1),

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2﹣1,

將C(0,3)代入上式,得:

3=a(0﹣2)2﹣1,a=1;

∴y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3


(2)

解:分兩種情況:

①當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合;

令y=0,得x2﹣4x+3=0,解得x1=1,x2=3;

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊,

∴B(1,0),A(3,0);

∴P1(1,0);

②當(dāng)點(diǎn)A為△AP2D2的直角頂點(diǎn)時(shí);

∵OA=OC,∠AOC=90°,

∴∠OAD2=45°;

當(dāng)∠D2AP2=90°時(shí),∠OAP2=45°,

∴AO平分∠D2AP2;

又∵P2D2∥y軸,

∴P2D2⊥AO,

∴P2、D2關(guān)于x軸對(duì)稱;

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0).

將A(3,0),C(0,3)代入上式得:

,

解得 ;

∴y=﹣x+3;

設(shè)D2(x,﹣x+3),P2(x,x2﹣4x+3),

則有:(﹣x+3)+(x2﹣4x+3)=0,

即x2﹣5x+6=0;

解得x1=2,x2=3(舍去);

∴當(dāng)x=2時(shí),y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1;

∴P2的坐標(biāo)為P2(2,﹣1)(即為拋物線頂點(diǎn)).

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(1,0),P2(2,﹣1)


(3)

解:由(2)知,當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(1,0)時(shí),不能構(gòu)成平行四邊形;

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2(2,﹣1)(即頂點(diǎn)Q)時(shí),

平移直線AP交x軸于點(diǎn)E,交拋物線于F;

∵P(2,﹣1),

∴可設(shè)F(x,1);

∴x2﹣4x+3=1,

解得x1=2﹣ ,x2=2+

∴符合條件的F點(diǎn)有兩個(gè),

即F1(2﹣ ,1),F(xiàn)2(2+ ,1)


【解析】(1)已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),可將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式,然后將函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的C點(diǎn)坐標(biāo)代入上式中,即可求出拋物線的解析式;(2)由于PD∥y軸,所以∠ADP≠90°,若△ADP是直角三角形,可考慮兩種情況:①以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),此時(shí)AP⊥DP,此時(shí)P點(diǎn)位于x軸上(即與B點(diǎn)重合),由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo);②以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),易知OA=OC,則∠OAC=45°,所以O(shè)A平分∠CAP,那么此時(shí)D、P關(guān)于x軸對(duì)稱,可求出直線AC的解析式,然后設(shè)D、P的橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線和直線AC的解析式表示出D、P的縱坐標(biāo),由于兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,則縱坐標(biāo)互為相反數(shù),可據(jù)此求出P點(diǎn)的坐標(biāo);(3)P、B重合,E點(diǎn)在x軸上,這樣A、P、E三點(diǎn)在x軸上,所以A、P、E、F為頂點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形,所以只有(2)②的一種情況符合題意,由②知此時(shí)P、Q重合;假設(shè)存在符合條件的平行四邊形,那么根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知:P、F的縱坐標(biāo)互為相反數(shù),可據(jù)此求出F點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線的解析式中即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1

2

3

4

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6

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80

75

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79

80

85

80

77

75

利用表中數(shù)據(jù),解答下列問(wèn)題:

填空完成下表:

平均成績(jī)

中位數(shù)

眾數(shù)

80

80

80

張老師從測(cè)驗(yàn)成績(jī)表中,求得甲的方差,請(qǐng)你計(jì)算乙10次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的方差.

請(qǐng)你根據(jù)上面的信息,運(yùn)用所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí),幫張老師選拔出參加全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽的人選,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

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(1)求出雙曲線的解析式;
(2)連結(jié)CD,求四邊形OCDB的面積.

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平均貨輪載重的噸數(shù)(萬(wàn)噸)

10

5

7.5

平均每噸貨物可獲例如(百元)

5

3.6

4


(1)若用乙、丙兩種型號(hào)的貨輪共8艘,將55萬(wàn)噸的貨物運(yùn)送到瓜達(dá)爾港,問(wèn)乙、丙兩種型號(hào)的貨輪各多少艘?
(2)集團(tuán)計(jì)劃未來(lái)用三種型號(hào)的貨輪共20艘裝運(yùn)180萬(wàn)噸的貨物到國(guó)內(nèi),并且乙、丙兩種型號(hào)的貨輪數(shù)量之和不超過(guò)甲型貨輪的數(shù)量,如果設(shè)丙型貨輪有m艘,則甲型貨輪有艘,乙型貨輪有艘(用含有m的式子表示),那么如何安排裝運(yùn),可使集團(tuán)獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)的多少?

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