【題目】(問題)(1)如圖1,銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,連接BD、CE,試猜想BD與CE的大小關(guān)系,并說明理由.
(遷移)(2)如圖2,四邊形ABCD中,AB=7cm,BC=3cm,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,求BD的長.
甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個和△ABD全等的三角形,將BD進行轉(zhuǎn)化再計算,請你準確的敘述輔助線的作法,再計算。
(3)如圖3,四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,AD=6,BD=10,求CD的長度.
【答案】(1)BD=CE,理由見解析;(2);(3)8
【解析】
(1)首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD,則根據(jù)SAS即可證明△EAC≌△BAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明;
(2)在△ABC的外部,以A為直角頂點作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,連接EA、EB、EC,證明△EAC≌△BAD,證明BD=CE,然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解;
(3)先證明△ABC是等邊三角形,再把△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,連接DE,則可得△CDE是等邊三角形,再證△BDE是直角三角形,運用勾股定理求出DE的長,從而可得CD的長.
(1)BD=CE.
理由是:∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△EAC和△BAD中,
,
∴△EAC≌△BAD,
∴BD=CE;
(2)如圖2,在△ABC的外部,以A為直角頂點作等腰直角△BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,連接EA、EB、EC.
∵∠ACD=∠ADC=45°,
∴AC=AD,∠CAD=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD,
在△EAC和△BAD中,
,
∴△EAC≌△BAD,
∴BD=CE.
∵AE=AB=7,
∴BE==7,∠ABE=∠AEB=45°,
又∵∠ABC=45°,
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°,
∴EC===,
∴BD=CE=.
(3)如圖,
∵AB=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
把△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,連接DE,
則BE=AD,△CDE是等邊三角形,
∴DE=CD,∠CED=60°,
∵∠ADC=30°,
∴∠BED=30°+60°=90°,
在RtBDE中,DE===8,
∴CD=DE=8.
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【題目】如圖,等邊△ABC中,AB=2,AD⊥BC,以AD、CD為鄰邊做矩形ADCE,將△ADC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△A′DC′使點A′落在CE上,連接AA′,CC′.
(1)求AD的長;
(2)求證:△ADA′∽△CDC′;
(3)求CC′2的值.
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【題目】閱讀下面的材料:
在平面幾何中,我們學(xué)過兩條直線平行的定義.下面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線,給出它們平行的定義:設(shè)一次函數(shù)y=k1x+b1(k1≠0)的圖象為直線l1,一次函數(shù)y=k2x+b2(k2≠0)的圖象為直線l2,若k1=k2,且b1≠b2,我們就稱直線l1與直線l2互相平行.
解答下面的問題:
(1)求過點P(1,4)且與已知直線y=-2x-1平行的直線的函數(shù)表達式,并畫出直線l的圖象;
(2)設(shè)直線l分別與y軸、x軸交于點A、B,如果直線:y=kx+t ( t>0)與直線l平行且交x軸于點C,求出△ABC的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達式.
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【題目】已知:CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線,CA=CB.E、F分別是直線CD上兩點,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部,且E,F在射線CD上,如圖1,若∠BCA=90°,∠α=90°,則BE______CF;并說明理由.
(2)如圖2,若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部,∠α=∠BCA,請?zhí)岢鲫P(guān)于EF,BE,AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想:__________.并說明理由.
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【題目】如圖①,在正方形ABCD中,點E與點F分別在線段AC、BC上,且四邊形DEFG是正方形.
(1)試探究線段AE與CG的關(guān)系,并說明理由.
(2)如圖②若將條件中的四邊形ABCD與四邊形DEFG由正方形改為矩形,AB=3,BC=4.
①線段AE、CG在(1)中的關(guān)系仍然成立嗎?若成立,請證明,若不成立,請寫出你認為正確的關(guān)系,并說明理由.
②當△CDE為等腰三角形時,求CG的長.
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【題目】沿海某城市A的正南方200千米B處有一臺風(fēng)中心,其中心最大風(fēng)力為12級,每遠離臺風(fēng)中心20千米,風(fēng)力就會減弱一級,該臺風(fēng)中心現(xiàn)在15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C移動且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變,若城市所受風(fēng)力達到或超過5級,則稱為受臺風(fēng)影響.
(1)該城市是否受到此次臺風(fēng)影響?請說明理由;
(2)若會受到臺風(fēng)影響,那么臺風(fēng)影響該城市持續(xù)時間有多長?
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【題目】拋物線經(jīng)過點A(,0),B(,0),且與y軸相交于點C.
(1)求這條拋物線的表達式;
(2)求∠ACB的度數(shù);
(3)設(shè)點D是所求拋物線第一象限上一點,且在對稱軸的右側(cè),點E在線段AC上,且DE⊥AC,當△DCE與△AOC相似時,求點D的坐標.
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【題目】矩形ABCD中,∠DBA=60°,把△ABD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)使得點A落在BD上,點A對稱點為點A1,點D對稱點為點D1,A1 D1與BC交于點E,連接D1C.
(1)求證:EC=EA1;
(2)求證:點D1、C、D在同一直線上.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=2x經(jīng)過點A(m,6),點B坐標為(4,0).
(1)求點A的坐標;
(2)若P為射線OA上的一點,當ΔPOB是直角三角形時,求P點的坐標.
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