Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上(端點(diǎn)除外)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF．

(1)求證：OE=OF；

(2)那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AECF的形狀并說明理由；

(3)在(2)的前提下△ABC滿足什么條件，四邊形AECF是正方形？說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形AECF是矩形；(3)四邊形AECF是正方形.

【解析】

(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通過等量代換即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可確定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；

(2)當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為矩形，根據(jù)矩形的判定定理(對(duì)角線相等且互相平分的四邊形為矩形)，結(jié)合(1)所推出的結(jié)論，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可確定四邊形AECF為矩形；

(3)當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形，根據(jù)(2)所推出的結(jié)論，由AC⊥BC，MN∥BC，確定AC⊥EF，即可推出結(jié)論．

證明：(1)

如圖：

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，

∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，

∴EO=CO，FO=CO，

∴EO=FO．

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．

∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵FO=CO，

∴AO=CO=EO=FO，

∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，

∴四邊形AECF是矩形．

(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．

∵由(2)知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，

∵MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，

∴∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形．