Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在直線l上，以A為圓心，OA為半徑的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E．給出如下定義：若線段OE，⊙A和直線l上分別存在點(diǎn)B，點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得四邊形ABCD是矩形（點(diǎn)A，B，C，D順時(shí)針排列），則稱(chēng)矩形ABCD為直線l的“位置矩形”．

例如，圖中的矩形ABCD為直線l的“位置矩形”．

（1）若點(diǎn)A（-1，2），四邊形ABCD為直線x=-1的“位置矩形”，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；

（2）若點(diǎn)A（1，2），求直線y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面積；

（3）若點(diǎn)A（1，-3），直線l的“位置矩形”面積的最大值為 ，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ．

Answer 1

【答案】（1）（-1，0）；（2）；（3）5、（3，-2）或（-1，-2）．

【解析】

（1）只需根據(jù)新定義畫(huà)出圖形就可解決問(wèn)題；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，連接AO、AC，如圖2，根據(jù)點(diǎn)A（1，2）在直線y=kx+1上可求出k，設(shè)直線y=x+1與y軸相交于點(diǎn)G，易求出OG=1，∠FGA=45°，根據(jù)勾股定理可求出AG、AB、BC的值，從而可求出“位置矩形”ABCD面積；

（3）設(shè)“位置矩形”的一組鄰邊長(zhǎng)分別為x、y，則有x2+y2=10．由（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0可得xy≤5，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy取最大值是5，此時(shí)“位置矩形”是正方形，然后分點(diǎn)D在第四象限（如圖3）和第三象限（如圖4）兩種情況討論，就可解決問(wèn)題

（1）如圖1，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）．

故答案為（-1，0）；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥y軸于點(diǎn)F，連接AO、AC，如圖2．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），

∴AC=AO=，AF=1，OF=2．

∵點(diǎn)A（1，2）在直線y=kx+1上，

∴k+1=2，

解得k=1．

設(shè)直線y=x+1與y軸相交于點(diǎn)G，

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，點(diǎn)G（0，1），OG=1，

∴FG=OF-OG=2-1=1=AF，

∴∠FGA=45°，AG=．

在Rt△GAB中，AB=AGtan45°=．

在Rt△ABC中，BC=．

∴所求“位置矩形”ABCD面積為ABBC=；

（3）設(shè)“位置矩形”的一組鄰邊長(zhǎng)分別為x、y，

則有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10．

∵（x-y）2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0，

∴xy≤5．

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy取最大值是5，此時(shí)“位置矩形”是正方形．

①當(dāng)點(diǎn)D在第四象限時(shí)，如圖3，

過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)M，交過(guò)點(diǎn)D平行于y軸的直線于點(diǎn)N，

∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DAN，

在RtAMB和Rt△DNA中，

，

∴RtAMB≌Rt△DNA，

則有AN=BM=2，DN=AM=1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1+2，-3+1）即（3，-2）．

②當(dāng)點(diǎn)D在第三象限時(shí)，如圖4，

過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，交y軸于點(diǎn)N，交過(guò)點(diǎn)D平行于y軸的直線于點(diǎn)M，

同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA，

則有DM=AN=1，AM=BN=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1-2，-3+1）即（-1，-2）．

故答案為：5、（3，-2）或（-1，-2）．