【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,垂足為H,D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),在AD的右側(cè)作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)求證:BD=CE;
(2)若點(diǎn)D在線段BC上,問(wèn)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),AC⊥DE?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)CE∥AB時(shí),若△ABD中最小角為20°,試探究∠ADB的度數(shù).(直接寫出結(jié)果,無(wú)需寫出求解過(guò)程)
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)(H點(diǎn))時(shí),AC⊥DE.理由見(jiàn)解析;(3)∠ADB的度數(shù)為20°或40°或100°.
【解析】
(1)由∠DAE=∠BAC證明∠BAD=∠CAE,再證明△BAD≌△CAE即可得到結(jié)論,
(2)利用等腰三角形的性質(zhì),證明∠CAH=∠CAE,再利用三線合一可得結(jié)論,
(3)分三種情形:①當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí),∠ADB=40°; ②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),最小角只能是∠DAB=20°,此時(shí)∠ADB=180°-20°-60°=100°. ③當(dāng)點(diǎn)D在BC 延長(zhǎng)線上時(shí),最小角只能是∠ADB=20°;即可得到答案.
證明:(1)如圖1.
∵∠DAE=∠BAC
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE.
(2)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)(H點(diǎn))時(shí),AC⊥DE
理由是:如圖2.
∵AB=AC,AH⊥BC
∴∠BAH=∠CAH
∵∠BAH=∠CAE,
∴∠CAH=∠CAE
∵AH=AE,
∴AC⊥DE.
(3)∠ADB的度數(shù)為20°或40°或100°.
理由如下:
①如圖3中,當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí),
∵CE∥AB,
∴∠BAE=∠AEC,∠BCE=∠ABC.
∵△DAB≌△EAC,
∴∠ADB=∠AEC,∠ABD=∠ACE,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠AEC+∠EAC=180°-∠ACE=180°-∠ABD=∠ABC=∠ACB,∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°
∵△ABD中的最小角是∠BAD=20°,
則∠ADB=∠ABC-∠BAD=40°.
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),最小角只能是∠DAB=20°,
同理可得:∠ADB=180°-20°-60°=100°.
③當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí),最小角只能是∠ADB=20°,
綜上所述:滿足條件的∠ABD的值為20°或40°或100°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)D在邊BC上,∠C+∠BAD=∠DAC,過(guò)D作DE⊥AB于E,,則線段AC的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中.
(1)若把△ABC向上平移2個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位得△A1B1C1,在圖中畫出△A1B1C1,并寫出△A1B1C1的坐標(biāo);
(2)求出△ABC的面積S△ABC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖反映的過(guò)程是王老師步行從家去書店買書,又去超市買菜, 然后回家.其中x表示時(shí)間,y表示王老師離家的距離.根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題:
(1)書店離王老師家多遠(yuǎn)?王老師從家到書店用了多少時(shí)間?
(2)超市離書店多遠(yuǎn)?超市離王老師家多遠(yuǎn)?王老師從超市走回家平均速度是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90,E為AB的中點(diǎn),求證:
(1)AC2=AB·AD;
(2)CE∥AD。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校八年級(jí)兩個(gè)班,各選派10名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“美麗紹興鄉(xiāng)土風(fēng)情知識(shí)”大賽預(yù)賽各參賽選手的成績(jī)?nèi)缦拢?/span>
八(1)班:88,91,92,93,93,93,94,98,98,100;
八(2)班:89,93,93,93,95,96,96,98,98,99.
通過(guò)整理,得到數(shù)據(jù)分析表如下:
班級(jí) | 最高分 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
八(1)班 | 100 | m | 93 | 93 | 12 |
八(2)班 | 99 | 95 | n | 93 | 8.4 |
(1)求表中m、n的值;
(2)依據(jù)數(shù)據(jù)分析表,有同學(xué)說(shuō):“最高分在(1)班,(1)班的成績(jī)比(2)班好”,但也有同學(xué)說(shuō)(2)班的成績(jī)更好請(qǐng)您寫出兩條支持八(2)班成績(jī)好的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:△AEF≌△DEB;
(2)證明四邊形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD 的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究
數(shù)學(xué)課上,老師讓同學(xué)們利用三角形紙片進(jìn)行操作活動(dòng),探究有關(guān)線段之間的關(guān)系.
問(wèn)題情境:
如圖1,三角形紙片ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.將點(diǎn)C放在直線l上,點(diǎn)A,B位于直線l的同側(cè),過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D.
初步探究:
(1)在圖1的直線l上取點(diǎn)E,使BE=BC,得到圖2.猜想線段CE與AD的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
變式拓展:
(2)小穎又拿了一張三角形紙片MPN繼續(xù)進(jìn)行拼圖操作,其中∠MPN=90°,MP=NP.小穎在圖 1 的基礎(chǔ)上,將三角形紙片MPN的頂點(diǎn)P放在直線l上,點(diǎn)M與點(diǎn)B重合,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥l于點(diǎn) H.
請(qǐng)從下面 A,B 兩題中任選一題作答,我選擇_____題.
A.如圖3,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在直線l的異側(cè)時(shí),探究此時(shí)線段CP,AD,NH之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
B.如圖4,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在直線l的同側(cè),且點(diǎn)P在線段CD的中點(diǎn)時(shí),探究此時(shí)線段CD,AD,NH之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字:-1,1,2的卡片,它們除數(shù)字不同外其余全部相同,現(xiàn)將它們背面朝上,洗勻后從中隨機(jī)抽出一張記下數(shù)字,放回洗勻后再?gòu)闹须S機(jī)抽出一張記下數(shù)字.
(1)請(qǐng)用列表或畫樹(shù)形圖的方法(只選其中一種),表示兩次抽出卡片上的數(shù)字的所有結(jié)果;
(2)將第一次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,第二次抽出的數(shù)字作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)y,求點(diǎn)(x,y)落在雙曲線上的概率.
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