【題目】教材在探索平方差公式時利用了面積法,面積法除了可以幫助我們記憶公式,還可以直觀地推導或驗證公式,俗稱“無字證明”,例如,著名的趙爽弦圖(如圖①,其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a,較小的直角邊長都為b,斜邊長都為c),大正方形的面積可以表示為c2 , 也可以表示為4×ab+(a-b)2由此推導出重要的勾股定理:如果直角三角形兩條直角邊長為a,b,斜邊長為c,則a2+b2=c2 .
(1)圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”,請你利用圖②推導勾股定理.
(2)如圖③,直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,則斜邊AB上的高CD的長為.
(3)試構(gòu)造一個圖形,使它的面積能夠解釋(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2 , 畫在如圖4的網(wǎng)格中,并標出字母a、b所表示的線段.
【答案】解:(1)梯形ABCD的面積為(a+b)(a+b)=a2+ab+b2 ,
也利用表示為ab+c2+ab,
∴a2+ab+b2=ab+c2+ab,即a2+b2=c2
(2)∵直角三角形的兩直角邊分別為3,4,
∴斜邊為5,
∵設(shè)斜邊上的高為h,直角三角形的面積為×3×4=×5×h,
∴h=.
(3)∵圖形面積為:(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2 ,
∴邊長為(a+2b)(a+b),
由此可畫出的圖形為:
【解析】(1)梯形的面積可以由梯形的面積公式求出,也利用三個直角三角形面積求出,兩次求出的面積相等列出關(guān)系式,化簡即可得證;
(2)已知兩直角邊,利用勾股定理求出斜邊長,再利用面積法即可求出斜邊上的高.
(3)已知圖形面積的表達式,即可根據(jù)表達式得出圖形的邊長的表達式,即可畫出圖形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一個長方體的長為2a , 寬也是2a , 高為h.
(1)用a 、h的代數(shù)式表示該長方體的體積與表面積.
(2)當a=3,h= 時,求相應(yīng)長方體的體積與表面積.
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,把長增加x , 寬減少x , 其中0<x<6,問長方體的體積是否發(fā)生變化,并說明理由.
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【題目】定義運算:a*b,當a>b時,有a*b=a,當a<b時,有a*b=b,如果(x+3)*2x=x+3,那么x的取值范圍是( )
A.x<3
B.x>3
C.x<1
D.1<x<3
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【題目】判斷以下各題的結(jié)論是否正確(對的打“√”,錯的打“×”).
(1)若 b﹣3a<0,則b<3a;
(2)如果﹣5x>20,那么x>﹣4;
(3)若a>b,則 ac2>bc2;
(4)若ac2>bc2 , 則a>b;
(5)若a>b,則 a(c2+1)>b(c2+1).
(6)若a>b>0,則< .
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【題目】下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長,其中能構(gòu)成直角三角形的是( )
A.
, ,
B.1, ,
C.6a,7a,8a
D.2a,3a,4a
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【題目】一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情況是( 。
A. 有兩個相等的實數(shù)根 B. 有兩個不相等的實數(shù)根 C. 無實數(shù)根 D. 只有一個實數(shù)根
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【題目】綜合題。
(1)先化簡,再求值:(x﹣2)(3x2﹣1)﹣12x( x2﹣ x﹣3),其中x=﹣
(2)已知x2﹣5x=3,求2(x﹣1)(2x﹣1)﹣2(x+1)2+1的值.
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