Question

2．如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是射線AE上任意一點(diǎn)（M不與A重合），連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CN，連接BN，直線BN交射線AE于點(diǎn)D．
（1）直接寫出直線BD與射線AE相交所成銳角的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)射線AE與AC的夾角∠EAC為鈍角時(shí)，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，加以證明；如果變化，請說明理由；
（3）如圖3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，射線AE交BC于點(diǎn)H，∠EAC=15°，點(diǎn)M是射線AE上任意一點(diǎn)（M不與A重合），連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，連接BN，直線BN交射線AE于點(diǎn)D．G，F(xiàn)分別是AH，AB的中點(diǎn)．求證：CD=GF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定方法，證明△BCN≌△ACM，得∠ABN=∠CAM，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得∠BDA=∠BCA=60°；
（2）根據(jù)全等三角形的判定方法，證明△BCN≌△ACM，得∠ANB=∠CMA，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得∠BDM=∠NCM=60°；
（3）先根據(jù)全等的判定方法，證明△BCN≌△ACM，得∠CBN=∠CAM，利用三角形的內(nèi)角和定理，得到∠ADB=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出∠DGC=30°，AG=CG，進(jìn)而求得∠DGC=∠BAD．根據(jù)中位線定理，求出∠AFG=ABC=45°，即可求出∠FGD=75°．再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠DGF=75°，故DG=DF=AF．即可證得△AFG≌△GDC，即可證得CD=GF．

解答 （1）解：直線BD與射線AE相交所成銳角的度數(shù)為60°．
（2）解：（1）中的結(jié)論不變．
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°，
∵線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CN，
∴CM=CN，∠MCN=60°，
∴∠ACB-∠BCM=∠MCN-∠BCM，
即∠ACM=∠BCN，
∴△BCN≌△ACM．
∴∠ANB=∠CMA，
∵∠CMA+∠MDB=∠BNC+∠NCM，
∴∠MDB=∠NCM=60°．
（3）證明：在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∵線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，
∴CM=CN，∠MCN=90°，
∴∠ACB-∠MCB=∠MCN-∠MCB，
即∠ACM=∠BCN，
∴△BCN≌△ACM，
∴∠CBN=∠CAM，
∴∠ABC+∠NBC+∠BAD=∠ABC+∠MAC+∠BAD=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ACH中，G是AH的中點(diǎn)，
∴AG=CG=GH，∠DGC=2∠GAC=30°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=30°，
∴∠DGC=∠BAD．
在△ABH中，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，G是AH的中點(diǎn)，
∴FG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC=45°，
∴∠FGD=∠FAG+∠AFG=75°，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，∠ABD=60°，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，
∴△BFD是等邊三角形，
∴∠BDF=60°，
∴∠FDG=30°．
在Rt△DGF中，∠GFD=180°-∠FGD-∠FDG=180°-75°-30°=75°，
∴DG=DF=AF，
∴△AFG≌△GDC，
∴CD=GF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線段的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)等，解決此題的關(guān)鍵是能將三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)靈活的應(yīng)用．