【題目】如圖,拋物線與雙曲線全相交于點A、B,且拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點,點的坐標(biāo)為(一2,2),點B在第四象限內(nèi).過點B作直線BC//x軸,點C為直線BC與拋物線的另一交點,已知直線BC與x軸之間的距離是點B到y(tǒng)軸的距離的4倍.記拋物線頂點為E.

(1)求雙曲線和拋物線的解析式;

(2)計算的面積;

(3)在拋物線上是否存在點D,使的面積等于的面積的8倍?若存在,請求出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1, 215, (3) D的坐標(biāo)為(3,﹣18)或(﹣4,﹣4

【解析】解:(1A﹣22)在雙曲線上,

∴k=﹣4。

雙曲線的解析式為

∵BCx軸之間的距離是點By軸距離的4倍,

設(shè)B點坐標(biāo)為(m﹣4m)(m0)代入雙曲線解析式得m=1。

拋物線y=ax2+bx+ca0)過點A﹣2,2)、B1,﹣4)、O00)。

,解得: 。

拋物線的解析式為。

2拋物線的解析式為,

頂點E),對稱軸為x=

∵B1,﹣4),∴﹣x2﹣3x=﹣4,解得:x1=1,x2=﹣4。

∴C﹣4,﹣4)。

SABC=×5×6=15,

A、B兩點坐標(biāo)為(﹣2,2),(1,﹣4)可求得直線AB的解析式為:y=﹣2x﹣2

設(shè)拋物線的對稱軸與AB交于點F,則F點的坐標(biāo)為(,1)。

EF=。SABE=SAEF+SBEF=××3=。

3SABE=,8SABE=15。

當(dāng)點D與點C重合時,顯然滿足條件,

當(dāng)點D與點C不重合時,過點CAB的平行線CD,

其直線解析式為y=﹣2x﹣12。

﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x,解得x1=3,x2=﹣4(舍去)。

當(dāng)x=3時,y=﹣18,故存在另一點D3,﹣18)滿足條件。

綜上所述,可得點D的坐標(biāo)為(3,﹣18)或(﹣4,﹣4)。

1)將點A的坐標(biāo)代入雙曲線方程即可得出k的值,設(shè)B點坐標(biāo)為(m﹣4m)(m0),根據(jù)雙曲線方程可得出m的值,然后分別得出了A、B、O的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式即可。

2)根據(jù)點B的坐標(biāo),結(jié)合拋物線方程可求出點C的坐標(biāo),從而可得出△ABC的面積。先求出AB的解析式,然后求出點F的坐標(biāo),及EF的長,從而根據(jù)SABE=SAEF+SBEF可得△ABE的面積。

3)先確定符合題意的△ABD的面積,從而可得出當(dāng)點D與點C重合時,滿足條件;當(dāng)點D與點C不重合時,過點CAB的平行線CD,則可求出其解析式,求出其與拋物線的交點坐標(biāo)即可得出點D的坐標(biāo)。

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