Question

【題目】如圖，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF．

（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC＝30°，求線段EF的長．

（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，

①求證：PE＝PF．

②若DF＝EF，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②∠BAC＝45°

【解析】

（1）解直角三角形求出AB，再證明∠AFB＝90°，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決問題．

（2）①過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，交OB于H，連接EH．想辦法證明四邊形OEHF是平行四邊形可得結(jié)論．

②想辦法證明FD＝FB，推出FO⊥BD，推出△AOB是等腰直角三角形即可解決問題．

（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，

∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，

∵AC是直徑，

∴∠ABC＝90°，

∴∠C＝60°，

∵OC＝OB，

∴△OCB是等邊三角形，

∵OF＝FC，

∴BF⊥AC，

∴∠AFB＝90°，

∵AE＝EB，

∴EF＝AB＝．

（2）①證明：過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，交OB于H，連接EH．

∵∠FGA＝∠ABC＝90°，

∴FG∥BC，

∴△OFH∽△OCB，

∴＝＝，

同理＝，

∴FH＝OE，

∵OE⊥AB．FH⊥AB，

∴OE∥FH，

∴四邊形OEHF是平行四邊形，

∴PE＝PF．

②∵OE∥FG∥BC，

∴＝＝1，

∴EG＝GB，

∴EF＝FB，

∵DF＝EF，

∴DF＝BF，

∵DO＝OB，

∴FO⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝45°．