Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E在CB的延長線上，聯(lián)結(jié)AE、DE，DE與邊AB交于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥BE且與AE交于點(diǎn)G．
（1）求證：GF=BF．
（2）在BC邊上取點(diǎn)M，使得BM=BE，聯(lián)結(jié)AM交DE于點(diǎn)O．求證：FOED=ODEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，

∵GF∥BE，

∴GF∥BC，

∴GF∥AD，

∴ ，

∵AB∥CD，

∴ ，

∵AD=CD，

∴GF=BF；

（2）證明：延長GF交AM于H，

∵GF∥BC，

∴FH∥BC，

∴ ，

∴ ，

∵BM=BE，

∴GF=FH，

∵GF∥AD，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴FOED=ODEF．

【解析】（1）根據(jù)已知條件可得到GF∥AD，則有 ，由BF∥CD可得到 ，又因為AD=CD，可得到GF=FB；（2）延長GF交AM于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 ，由于BM=BE，得到GF=FH，由GF∥AD，得到 ，等量代換得到 ，即 ，于是得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．