Question

（2012•徐州）如圖，直線y=x+b（b＞4）與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，與反比例函數(shù)y=-

4

x

的圖象相交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），⊙O是以CD長為半徑的圓．CE∥x軸，DE∥y軸，CE、DE相交于點(diǎn)E．
（1）△CDE是

等腰直角

三角形；點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（

-b- b2-16

2

，

b- b2-16

2

）

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（

-b+ b2-16

2

，

b+ b2-16

2

）

（用含有b的代數(shù)式表示）；
（2）b為何值時(shí)，點(diǎn)E在⊙O上？
（3）隨著b取值逐漸增大，直線y=x+b與⊙O有哪些位置關(guān)系？求出相應(yīng)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得出∠DCE=45°，即可得出△CDE是等腰直角；再將y=x+b與y=-

4

x

，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)已知得出四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形，進(jìn)而得出OE=AC=BD=CD，再利用△AFC∽△AOB，求出b的值，即可得出答案；
（3）根據(jù)整個(gè)圖形是軸對稱圖形，得出點(diǎn)O、E、G在對稱軸上，即GC=GD=

1

2

CD=

1

2

OG=

1

2

AG，再得出△AHC∽△AOB，求出b的值即可，進(jìn)而判斷出直線y=x+b與⊙O的位置關(guān)系和b的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)直線y=x+b（b＞4）與反比例函數(shù)y=-

4

x

的圖象相交于點(diǎn)C、D，CE∥x軸，DE∥y軸，
則y=x+b與y=x平行，
故∠DCE=45°，
則△CDE是等腰直角三角形；
將y=x+b與y=-

4

x

，聯(lián)立得出：
x+b=-

4

x

，
解得：x₁=

-b+ b2-16

2

，x₂=

-b- b2-16

2

，分別代入y=x+b得：
y₁=

b+ b2-16

2

，y₂=

b- b2-16

2

，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（

-b- b2-16

2

，

b- b2-16

2

），
點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（

-b+ b2-16

2

，

b+ b2-16

2

）；
故答案為：等腰直角，（

-b- b2-16

2

，

b- b2-16

2

），（

-b+ b2-16

2

，

b+ b2-16

2

）；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在⊙O上時(shí)，如圖1，連接OE．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

-b+ b2-16

2

，縱坐標(biāo)為：

b- b2-16

2

，
則OE=CD．
∵直線y=x+b與x軸、y軸相交于點(diǎn)A（-b，0），B（0，b），CE∥x軸，DE∥y軸，
∴△DCE、△AOB是等腰直角三角形．
∵整個(gè)圖形是軸對稱圖形，
∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45°．
∵CE∥x軸，DE∥y軸，
∴四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形．
∴OE=AC=BD．
∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD．
過點(diǎn)C作CF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F．
則△AFC∽△AOB．
∴

CF

BO

=

AC

AB

=

1

3

．
∴AF=CF=

1

3

BO=

1

3

b．
∴

b- b2-16

2

=

1

3

b，
解得：b=±3

2

．
∵b＞4，∴b=3

2

．
∴當(dāng)b=3

2

時(shí)，點(diǎn)E在⊙O上．

（3）當(dāng)⊙O與直線y=x+b相切于點(diǎn)G時(shí)，
如圖2，連接OG．
∵整個(gè)圖形是軸對稱圖形，
∴點(diǎn)O、E、G在對稱軸上．
∴GC=GD=

1

2

CD=

1

2

OG=

1

2

AG．
∴AC=CG=GD=DB．
∴AC=

1

4

AB．
過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H．  
則△AHC∽△AOB．
∴

CH

BO

=

AC

AB

=

1

4

．
∴C的縱坐標(biāo)：yC=CH=

1

4

BO=

1

4

b．
∴

b- b2-16

2

=

1

4

b，
解得b=±

8 3

3

．
∵b＞4，∴b=

8 3

3

．
∴當(dāng)b=

8 3

3

時(shí)，直線y=x+b與⊙O相切；
當(dāng)4＜b＜

8 3

3

時(shí)，直線y=x+b與⊙O相離；
當(dāng)b＞

8 3

3

時(shí)，直線y=x+b與⊙O相交．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合題目以及一次函數(shù)與反比函數(shù)的綜合應(yīng)用和相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合得出對應(yīng)線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．