Question

【題目】如圖1，已知拋物線；C1：y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）與x軸交于點B、C（點B在點C的左側(cè)），與y軸交于點E．

（1）求點B、點C的坐標；

（2）當△BCE的面積為6時，若點G的坐標為（0，b），在拋物線C1的對稱軸上是否存在點H，使得△BGH的周長最小，若存在，則求點H的坐標（用含b的式子表示）；若不存在，則請說明理由；

（3）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點B、C的坐標分別為：（﹣2，0）、（m，0）；（2）存在，點H（1，b）；（3）存在，m＝2

【解析】

（1） ，令y＝0，則x＝﹣2或m，即可求解；

（2）點B關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點為點C（m，0），連接CE交對稱軸于點H，則點H為所求，即可求解；

（3）分△BEC∽△BCF、△BEC∽△FCB兩種情況，分別求解即可．

解：（1），令y＝0，則x＝﹣2或m，

故點B、C的坐標分別為：（﹣2，0）、（m，0）；

（2）存在，理由：

，令x＝0，則y＝2，故點E（0，2），

△BCE的面積為： ，解得：m＝4，

則拋物線的對稱軸為： ，

點B關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點為點C（m，0），連接CE交對稱軸于點H，則點H為所求，

將點C、E的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線CE的表達式為： ，當x＝1時, ，

故點H（1，b）；

（3）∵OE＝OB＝2，故∠EBO＝45°，

過點F作FT⊥x軸于點F；

①當△BEC∽△BCF時，

則BC2＝BEBF，∠FBO＝EBO＝45°，

則直線BF的函數(shù)表達式為：y＝﹣x﹣2，故點F（x，﹣x﹣2）；

將點F的坐標代入拋物線表達式得：

解得：x＝﹣2（舍去）或2m，

故點F（2m，﹣2m﹣2），

則

∵BC2＝BEBF，

則 解得： （舍去負值），

故

②當△BEC∽△FCB時，

則BC2＝BFEC，∠CBF＝∠ECO，

則△BFT∽△COE，

則 ，則點

將點F的坐標代入拋物線表達式得：

解得：x＝﹣2（舍去）或m+2；

則點

BC2＝BFEC，則

化簡得：m3+4m2+4m＝m3+4m2+4m+16，

此方程無解；

綜上，m＝2．