Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），那么下列結(jié)論中：①abc＞0；②2a+b═0；③b2﹣4ac＞0；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0沒有實(shí)數(shù)根，則m＞2；⑤方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為4．正確的個(gè)數(shù)為（　　）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況和二次函數(shù)的最值進(jìn)行推理即可．

解：∵拋物線開口向下，

∴a＜0，

∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c＞0，

∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

∴b＞0，

∴abc＜0，①錯(cuò)誤；

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，

∴

∴2a+b＝0，②正確；

∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，③正確；

∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），

∴當(dāng)m＞2時(shí)，ax2+bx+c﹣m＜0，

∴當(dāng)m＞2時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0沒有實(shí)數(shù)根，④正確；

由圖象可知函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝1有兩個(gè)交點(diǎn)，與直線y＝﹣1有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，

設(shè)函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝1兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3，x4

∵

∴x1+x2＝2，x3+x4＝2，

∴x1+x2+x3+x4＝4，

∴方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為4，⑤正確；

故選：C．