Question

【題目】關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線y＝﹣x2+（m+1）x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖1，設(shè)拋物線的對(duì)軸交x軸于點(diǎn)E，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使P點(diǎn)到x軸的距離等于P點(diǎn)到直線BD的距離？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖2，作CF⊥DE于F，M為射線EA上一動(dòng)點(diǎn)．如果在線段EF上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)N滿足△CFN與△NEM相似，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3．（2）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）時(shí)，P點(diǎn)到x軸的距離等于P點(diǎn)到直線BD的距離．（3）

【解析】

（1）利用根的判別式列式求解即可.（2）由題意可知，點(diǎn)P在∠DBE及其外角的角平分線上，則角平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P的位置，利用勾股定理求解即可.（3）當(dāng)以CM為直徑的⊙K與EF相切時(shí)，恰好存在兩個(gè)點(diǎn)N，使得△MNE和△CFN相似，由此確定M的位置，設(shè)EM＝a，連接KN，則KN是梯形CFEM的中位線，則KN＝，CM＝1+a，在Rt△CMO中，利用勾股定理列方程求解即可.

解：（1）∵一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴△＝0且m+1≠0，

∴4（m+1）2﹣4（m+1）×2＝0，

解得m＝±1，

∵m≠﹣1，

∴m＝1，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．如圖1中，

①當(dāng)P在x軸上方時(shí)，作PM⊥BD，設(shè)PM＝PE＝m，

由題意可知A（﹣1，0），B（3，0），D（1，4），

∴DE＝4，BE＝2，BD＝＝＝2，

在Rt△PDM中，∵PD2＝DM2＝PM2，

∴（4﹣m）2＝（2﹣2）2+m2，

解得m＝﹣1，

∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)（2，﹣1）．

②當(dāng)P′在x軸下方時(shí)，作P′N⊥BD于N．設(shè)P′N＝P′E＝m，

在Rt△DP′N中，∵P′D2＝DN2+P′N2，

∴（4+m）2＝（2+2）2+m2，

解得m＝+1，

∴此時(shí)點(diǎn)P′坐標(biāo)（2，﹣﹣1）．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）時(shí)，P點(diǎn)到x軸的距離等于P點(diǎn)到直線BD的距離．

（3）如圖2中，當(dāng)以CM為直徑的⊙K與EF相切時(shí)，恰好存在兩個(gè)點(diǎn)N，使得△MNE和△CFN相似．

①設(shè)切點(diǎn)為N，則∠CNM＝90°，

∵∠CFN＝∠MEN＝90°，

∴∠MNE+∠CNF＝90°，∠CNF+∠NCF＝90°，

∴∠MNE＝∠NCF，

∴△MNE∽△NCF．

②作C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接MC′交DE于N′，

∵∠CN′F＝∠C′N′F＝∠MN′E，∠CFN′＝∠MEN′＝90°，

∴△N′ME∽△N′CF．

∴當(dāng)以CM為直徑的⊙K與EF相切時(shí)，恰好存在兩個(gè)點(diǎn)N，使得△MNE和△CFN相似，

設(shè)EM＝a，連接KN，則KN是梯形CFEM的中位線，

∴KN＝，CM＝1+a，

在Rt△CMO中，∵CM2＝CO2+OM2，

∴（1+a）2＝（a﹣1）2＝32，

解得a＝，

∴OM＝EM﹣OE＝﹣1＝，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣，0）．