Question

【題目】問(wèn)題再現(xiàn)：

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀起來(lái)并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：利用圖形的幾何意義推證完全平方公式．將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的邊長(zhǎng)增加b，形成兩個(gè)矩形和兩個(gè)正方形，如圖1，這個(gè)圖形的面積可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2＝a2+2ab+b2

這就驗(yàn)證了兩數(shù)和的完全平方公式．

問(wèn)題提出：

如何利用圖形幾何意義的方法推證：13+23＝32 如圖2，A表示1個(gè)1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A、B、C、D恰好可以拼成一個(gè)（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32

嘗試解決：

請(qǐng)你類比上述推導(dǎo)過(guò)程，利用圖形幾何意義方法推證：13+23+33＝　 　（要求自己構(gòu)造圖形并寫(xiě)出推證過(guò)程）

類比歸納：

請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+n3＝　 　（要求直接寫(xiě)出結(jié)論，不必寫(xiě)出解題過(guò)程）

實(shí)際應(yīng)用：

圖3是由棱長(zhǎng)為1的小正方體搭成的大正方體，圖中大小正方體一共有多少個(gè)？為了正確數(shù)出大小正方體的總個(gè)數(shù)，我們可以分類統(tǒng)計(jì)，即分別數(shù)出棱長(zhǎng)是1，2，3和4的正方體的個(gè)數(shù)，再求總和．

例如：棱長(zhǎng)是1的正方體有：4×4×4＝43個(gè)，棱長(zhǎng)是2的正方體有：3×3×3＝33個(gè)，棱長(zhǎng)是3的正方體有：2×2×2＝23個(gè)，棱長(zhǎng)是4的正方體有：1×1×l＝13個(gè)，然后利用（3）類比歸納的結(jié)論，可得：　　＝　 　圖4是由棱長(zhǎng)為1的小正方體成的大正方體，圖中大小正方體一共有　 　個(gè)．

逆向應(yīng)用：

如果由棱長(zhǎng)為1的小正方體搭成的大正方體中，通過(guò)上面的方式數(shù)出的大小正方體一共有44100個(gè)，那么棱長(zhǎng)為1的小正方體一共有　 　個(gè)．

Answer 1

【答案】（1）（1+2+3）2；（2）（1+2+3+…+n）2；（3）13+23+33+43，（1+2+3+4）2，100個(gè)；（4）8000．

【解析】

根據(jù)規(guī)律可以利用相同的方法進(jìn)行探究推證，由于是探究13+23+33＝？肯定構(gòu)成大正方形有9個(gè)基本圖形（3個(gè)正方形6個(gè)長(zhǎng)方形）組成，如圖所示可以推證．

實(shí)際應(yīng)用：根據(jù)規(guī)律求大正方體中含有多少個(gè)正方體，可以轉(zhuǎn)化為13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2來(lái)求得．

逆向應(yīng)用：可將總個(gè)數(shù)看成m2，然后再寫(xiě)成＝（1+2+3+…+n）2得出大正方形每條邊上有幾個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，進(jìn)而計(jì)算出棱長(zhǎng)為1的小正方體的個(gè)數(shù)．

解：如圖，A表示1個(gè)1×1的正方形，即1×1×1＝13；

B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，

因此B、C、D就可以拼成2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×2＝23；

G與H、E與F和可以拼成3個(gè)3×3的正方形，即：3×3×3＝33；

而整個(gè)圖形恰好可以拼成一個(gè)（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，

因此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62．

故答案為：（1+2+3）2或62．

根據(jù)規(guī)律可得：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．

依據(jù)規(guī)律得：13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝102＝100．

故答案為：13+23+33+43＝（1+2+3+4）2 100

∵44100＝2102＝（1+2+3+…+n）2

∴n＝20

∴20×20×20＝8000

故答案為8000．