Question

【題目】如圖①，定義：直線與x、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，過(guò)點(diǎn)A、B、D的拋物線P叫做直線的“糾纏拋物線”，反之，直線叫做P的“糾纏直線"，兩線“互為糾纏線”．

（1）若，則糾纏物線P的函數(shù)解析式是____________．

（2）判斷并說(shuō)明與是否“互為糾纏線”．

（3）如圖②，若糾纏直線，糾纏拋物線P的對(duì)稱軸與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，點(diǎn)Q在P的對(duì)稱軸上，當(dāng)以點(diǎn)C、E、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】答案見(jiàn)解析.

【解析】

（1）若l：y=-2x+2，則點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為：（1，0）、（0，2）、（0，1）、（-2，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+2）（x-1），即可求解；

（2）同理：點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為：（k，0）、（0，2k）、（0，k）、（-2k，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+2k）（x-k），即可求解；

（3）以點(diǎn)C、E、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，由題意得：|xQ-xF|=1，即：m+1=±1，即可求解．

解：（1）若l：y=-2x+2，則點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為：（1，0）、（0，2）、（0，1）、（-2，0），

則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+2）（x-1），

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：2=a（0+2）（0-1），解得：a=-1，

故答案為：y=-x2-x+2；

(2)同理：點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為：（k，0）、（0，2k）、（0，k）、（-2k，0），

則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+2k）（x-k），
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式并解得：a= ，
故拋物線的表達(dá)式為：y=

故y=-2x+2k與y＝“互為糾纏線”；

點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為：（2，0）、（0，4）、（0，2）、（-4，0），

同理可得：拋物線的表達(dá)式為：y=

拋物線的對(duì)稱軸為：x=-1，

設(shè)點(diǎn)F（m，-2m+4），點(diǎn)Q（-1，n），

將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并求得：

直線CD的表達(dá)式為：y= x+2，

點(diǎn)CE橫坐標(biāo)差為1，故縱坐標(biāo)差為，

以點(diǎn)C、E、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，

由題意得：|xQ-xF|=1，即：m+1=±1，

解得：m=0或-2，
當(dāng)m=0時(shí)，點(diǎn)F（0，4），則點(diǎn)Q（-1， ）；

同理當(dāng)m=-2時(shí)，點(diǎn)Q（-1， ）；
綜上，點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q（-1，）或Q（-1，）．