Question

10．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$（n為常數(shù)，n≠0）的圖象與一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖象在第一象限內交于點C（2，m），一次函數(shù)y=kx+b與x軸、y軸分別交于A、B兩點．已知tan∠ABO=$\frac{2}{3}$，AB=2$\sqrt{13}$．
（1）求一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P在x軸上且使得△PCD面積為△ABO面積的3倍，求滿足條件的P點坐標．

Answer 1

分析 （1）設OA=2x，則OB=3x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程（2x）²+（3x）²=（2$\sqrt{13}$）²，解方程得出OA=2x=4，OB=3x=6，得出A（-4，0），B（0，6）；由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；求出C（2，9），代入反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$求出n=18，得出反比例函數(shù)解析式即可；
（2）求出△ABO的面積=12，得出△PCD的面積=36，解方程組求出點D（-6，-3），設點P的橫坐標為x，分兩種情況：①當點P在點A的右側時；②當點P在點A的左側時；由△PCD的面積=△APD的面積+△APC的面積得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴設OA=2x，則OB=3x，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：（2x）²+（3x）²=（2$\sqrt{13}$）²，
解得：x=±2（負值舍去），
∴OA=2x=4，OB=3x=6，
∴A（-4，0），B（0，6）；
代入一次函數(shù)y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得•：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=$\frac{3}{2}$x+6；
把點C（2，m）代入得：m=9，
∴C（2，9），
代入反比例函數(shù)y=$\frac{n}{x}$得：n=2×9=18，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{18}{x}$；
（2）∵△ABO的面積=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×4×6=12，△PCD面積為△ABO面積的3倍，
∴△PCD的面積=3×12=36，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+6}\\{y=\frac{18}{x}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴D（-6，-3），
設點P的橫坐標為x，
分兩種情況：①當點P在點A的右側時，
△PCD的面積=△APD的面積+△APC的面積=$\frac{1}{2}$（x+4）×3+$\frac{1}{2}$（x+4）×9=36，
解得：x=2，
∴點P的坐標為（2，0）；
②當點P在點A的左側時，
△PCD的面積=△APD的面積+△APC的面積=$\frac{1}{2}$（-4-x）×3+$\frac{1}{2}$（-4-x）×9=36，
解得：x=-10，
∴點P的坐標為（-10，0）；
綜上所述：點P的坐標為（2，0）或（-10，0）．

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角函數(shù)、勾股定理、三角形面積的計算等知識；熟練掌握勾股定理，求出點A和B的坐標是解決問題的關鍵；注意（2）中要分類討論．