Question

【題目】如圖1，已知直線，且和之間的距離為，小明同學制作了一個直角三角形硬紙板，其中，，.小明利用這塊三角板進行了如下的操作探究：

(1)如圖1，若點在直線上，且.求的度數(shù)；

(2)若點在直線上，點在和之間(不含、上)，邊、與直線分別交于點和點.

①如圖2，、的平分線交于點.在繞著點旋轉(zhuǎn)的過程中，的度數(shù)是否變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請說明理由；

②如圖3，在繞著點旋轉(zhuǎn)的過程中，設，，求的取值范

Answer 1

【答案】（1）；（2）①不變，；②.

【解析】

（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠1的度數(shù)；

（2）①先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得∠AKD+∠CDK=360°-90°-60°=210°，由角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論；

②先根據(jù)①的結(jié)論，結(jié)合平行線的性質(zhì)得：n=2m-110，確認點C邊界上兩點時，n的取值，代入n=2m-110，可得結(jié)論．

（1）如圖1，∵∠ACB=90°，∠ACE=20°，

∴∠ECB=90°-20°=70°，

∵EF∥GH，

∴∠1=∠ECB=70°；

（2）①在△ABC繞著點A旋轉(zhuǎn)的過程中，∠O的度數(shù)不發(fā)生變化，

理由是：如圖2，

∵∠BAC=60°，∠ACB=90°，

∴∠AKD+∠CDK=360°-90°-60°=210°，

∵∠AKD、∠CDK的平分線交于點O，

∴∠OKD=∠AKD，∠ODK=∠CDK，

∴∠OKD+∠ODK=105°，

∴∠O=180°-105°=75°；

②∵EF∥GH，

∴∠EAK=∠AKD=n°，

由①知：∠AKD+∠CDK=210°，

∴n+4m-3n-10=210，

n=2m-110，

如圖3，點C在直線EF上時，∠EAK=n=180°-60°=120°，

如圖4，∵AC=1，且EF和GH之間的距離為1，

∴點C在直線GH上時，∠EAK=n=90°-60°=30°，

∵點C在EF和GH之間（不含EF、GH上），

∴30°＜n＜120°，

即30＜2m-110＜120，

∴m的取值范圍是：70°＜m＜115°．