如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且點A(1,-4)為拋物線的頂點,點B在x軸上。
(1)求拋物線的解析式;
(2)在(1)中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使△POB與△POC全等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若點Q是y軸上一點,且△ABQ為直角三角形,求點Q的坐標。
解:(1)把A(1,-4)代入,得k=2,∴。
令y=0,解得:x=3,∴B的坐標是(3,0)。
∵A為頂點,∴設(shè)拋物線的解析為。
把B(3,0)代入得:4a-4=0,解得a=1。
∴拋物線的解析式為即。
(2)存在。
∵OB=OC=3,OP=OP,∴當∠POB=∠POC時,△POB≌△POC。
此時PO平分第二象限,即PO的解析式為y=-x。
設(shè)P(m,-m),則,解得(,舍去)。
∴P(。
(3)①如圖,當∠Q1AB=90°時,△DAQ1∽△DOB,
∴,即。∴。
∴,即。
②如圖,當∠Q2BA=90°時,△BOQ2∽△DOB,
∴,即。
∴,即。
③如圖,當∠AQ3B=90°時,作AE⊥y軸于E,則△BOQ3∽△Q3EA,
∴,即。
∴,解得OQ3=1或3,即Q3(0,-1),Q4(0,-3)。
綜上,Q點坐標為或或(0,-1)或(0,-3)。
【解析】
試題分析:(1)已知點A坐標可確定直線AB的解析式,進一步能求出點B的坐標.點A是拋物線的頂點,那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點式,再代入點B的坐標,依據(jù)待定系數(shù)法可解。
(2)首先由拋物線的解析式求出點C的坐標,在△POB和△POC中,已知的條件是公共邊OP,若OB與OC不相等,那么這兩個三角形不能構(gòu)成全等三角形;若OB等于OC,那么還要滿足的條件為:∠POC=∠POB,各自去掉一個直角后容易發(fā)現(xiàn),點P正好在第二象限的角平分線上,聯(lián)立直線y=-x與拋物線的解析式,直接求交點坐標即可,同時還要注意點P在第二象限的限定條件。
(3)分別以A、B、Q為直角頂點,分類進行討論,找出相關(guān)的相似三角形,依據(jù)對應(yīng)線段成比例進行求解即可。
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學 來源:中考必備’04全國中考試題集錦·數(shù)學 題型:044
如圖,已知拋物y=x2-ax+a+2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點D(0,8),直線DC平行于x軸,交拋物線于另一點C.動點P以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā),沿C→D運動.同時、點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā),沿A→B運動.連結(jié)PQ、CB.設(shè)點P的運動時間為t秒.
(1)求a的值;
(2)當t為何值時,PQ平行于y軸;
(3)當四邊形PQBC的面積等于14時,求t的值.
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科目:初中數(shù)學 來源:2012年初中畢業(yè)升學考試(福建龍巖卷)數(shù)學(解析版) 題型:解答題
在平面直角坐標系xoy中, 一塊含60°角的三角板作如圖擺放,斜邊 AB在x軸上,直角頂點C在y軸正半軸上,已知點A(-1,0).
(1)請直接寫出點B、C的坐標:B( , )、C( , );并求經(jīng)過A、B、C三點的拋物
線解析式;
(2)現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把頂點E放在線段
AB上(點E是不與A、B兩點重合的動點),并使ED所在直線經(jīng)過點C. 此時,EF所在直線與(1)中的拋物線交于第一象限的點M.
①設(shè)AE=x,當x為何值時,△OCE∽△OBC;
②在①的條件下探究:拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形,若存在,請求點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源:2011-2012學年廣西省貴港市九年級第一次教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學卷 題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖所示,在平面直角坐標系中,頂點為(,)的拋物線交軸于點,交軸于,兩點(點在點的左側(cè)), 已知點坐標為(,).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)過點作線段的垂線交拋物線于點,
如果以點為圓心的圓與直線相切,請判斷拋物
線的對稱軸與⊙有怎樣的位置關(guān)系,并給出證明;
(3)已知點是拋物線上的一個動點,且位于,
兩點之間,問:當點運動到什么位置時,的
面積最大?并求出此時點的坐標和的最大面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
.如圖,已 知直線 交坐標軸于兩點,以線段為邊向上作正方形,過點的拋物線與直線另一個交點為.
(1)請直接寫出點的坐標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線下滑,直至頂點落在x軸上時停止.設(shè)正方形落在軸下方部分的面積為,求關(guān)于滑行時間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍;
(4)在(3)的條件下,拋物線與正方形一起平移,同時停止,求拋物線上兩點間的拋物
線弧所掃過的面積.
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